一．【課標要求】
1．不等關係
通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關係，了解不等式（組）的實際背景；
2．基本不等式：（a,b≥0）
①探索並了解基本不等式的證明過程；
②會用基本不等式解決簡單的最大（小）問題
二．【命題走向】
不等式歷來是高考的重點內容。對於本將來講，考察有關不等式性質的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內容在複習時，要在思想方法上下功夫
**2023年的高考命題趨勢：
1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質與函式、三角結合起來綜合考察不等式的性質、函式單調性等，多以選擇題的形式出現，解答題以含引數的不等式的證明、求解為主；
2．利用基本不等式解決像函式的單調性或解決有關最值問題是考察的重點和熱點，應加強訓練。
三．【要點精講】
1．不等式的性質
比較兩實數大小的方法——求差比較法；；
。定理1：若，則；若，則．即。
說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。
定理2：若，且，則。
說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數；定理2稱不等式的傳遞性。
定理3：若，則。
說明：（1）不等式的兩邊都加上同乙個實數，所得不等式與原不等式同向；
（2）定理3的證明相當於比較與的大小，採用的是求差比較法；
（3）定理3的逆命題也成立；
（4）不等式中任何一項改變符號後，可以把它從一邊移到另一邊。
定理3推論：若。
說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然後由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：
兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式
定理4．如果且，那麼；如果且，那麼。
推論1：如果且，那麼。
說明：（1）不等式兩端乘以同乙個正數，不等號方向不變；乘以同乙個負數，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。
推論2：如果， 那麼 。
定理5：如果，那麼 。
2．基本不等式
定理1：如果，那麼（當且僅當時取「」）。
說明：（1）指出定理適用範圍：；（2）強調取「」的條件。
定理2：如果是正數，那麼（當且僅當時取「=」）
說明：（1）這個定理適用的範圍：；（2）我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數。即：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。
3．常用的證明不等式的方法
（1）比較法
比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差後的符號，有時要把這個差變形為乙個常數，或者變形為乙個常數與乙個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。
（2）綜合法
利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件。
綜合法證明不等式的邏輯關係是：，及從已知條件出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論。
（3）分析法
證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那麼就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。
（1）「分析法」是從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即「執果索因」；
（2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然後用綜合法的形式寫出證明過程
四．【典例解析】
題型1：考查不等式性質的題目
例1．（2009安徽卷理）下列選項中，p是q的必要不充分條件的是
a.p:＞b+d , q:＞b且c＞d
b.p:a＞1,b>1 q:的影象不過第二象限
c.p: x=1q:
d.p:a＞1q: 在上為增函式
答案 a
解析由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選a。
（2）（2009四川卷文）已知，，，為實數，且＞.則「＞」是「－＞－」的
a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件
c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件
答案 b
解析顯然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，則同向不等式相加得＞
即由「－＞－」「＞」
點評：本題主要考查.不等式恆成立的條件，由於給出的是不完全提幹，必須結合選擇支，才能得出正確的結論。
例2．（1）（2009天津卷理）,若關於x 的不等式＞的解集中的整數恰有3個，則
a. b. c. d.
答案 c
（2）（2009重慶卷理）不等式對任意實數恆成立，則實數的取值範圍為（ ）
a． b
cd．答案 a
解析因為對任意x恆成立，所以
點評：本題考查不等式的基本性質
題型2：基本不等式
例3．（2009天津卷理）設若的最小值為
a . 8 b . 4 c. 1 d.
考點定位本小題考查指數式和對數式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力。
答案 c
解析因為，所以，
，當且僅當即時「=」成立，故選擇c
例4．（1）若實數a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ）
a.18b.6c.2d.2
（2）若a＞b＞1，p＝，q＝（lga＋lgb），r＝lg（），則（ ）
a.r＜p＜qb.p＜q＜r
c.q＜p＜rd.p＜r＜q
解析：（1）答案：b；3a+3b≥2=6，當且僅當a=b=1時取等號。故3a+3b的最小值是6；
（2）答案：b；∵lga＞lgb＞0，∴（lga＋lgb）＞，即q＞p，
又∵a＞b＞1，∴，
∴（lga＋lgb），
即r＞q，∴有p＜q＜r，選b。
點評：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號成立的條件。
題型3：不等式的證明
例5．已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥。
證法一： (分析綜合法）
欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證。
證法二： (均值代換法)
設a=+t1，b=+t2。
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜，
顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立
證法三：(比較法)
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤，
證法四：(綜合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤，
。證法五：(三角代換法)
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)，
點評：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以後的式子可以整理為關於某乙個變數的二次式，則考慮用判別式法證
例6．求使≤a(x＞0，y＞0)恆成立的a的最小值。
分析：本題解法三利用三角換元後確定a的取值範圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應進行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜＝，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的其原因是：(1)縮小了x、y的範圍；(2)這樣換元相當於本題又增加了「x、y=1」這樣乙個條件，顯然這是不對的。
除了解法一經常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若引數a滿足不等關係，a≥f(x)，則amin=f(x)max 若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕鬆地解決這一類不等式中所含引數的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉化。
解法一：由於a的值為正數，將已知不等式兩邊平方，
得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y
∴x，y＞0，∴x+y≥2
當且僅當x=y時，②中有等號成立。
比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是。
解法二：設
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當x=y時「=」成立)，
∴≤1，的最大值是1。
從而可知，u的最大值為，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值為，
解法三：∵y＞0，
∴原不等式可化為+1≤a，
設=tanθ，θ∈(0，)。
∴tanθ+1≤a，即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ=sin
又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=)。
由③式可知a的最小值為。
點評：本題考查不等式證明、求最值函式思想、以及學生邏輯分析能力。該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含於恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然後再利用函式思想和重要不等式等求得最值
題型4：不等式證明的應用
例7．已知函式f(x)=x+ x，數列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以後各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）
.求證：當n時，(ⅰ)x（ⅱ）。
證明：（i）因為
所以曲線在處的切線斜率
因為過和兩點的直線斜率是
所以.（ii）因為函式當時單調遞增，
而，所以，即
因此又因為令則
因為所以
因此故點評：本題主要考查函式的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力
例8．已知a＞0，函式f（x）＝ax－bx2。
（1）當b＞0時，若對任意x∈r都有f（x）≤1，證明a≤2；
（2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2；
（3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。
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