第一章：證明（二）§1.3 線段的垂直平分線
一、考點解析
1、線段垂直平分線的性質定理及其應用；2、線段垂直平分線的判定定理及其應用；
3、三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀之間的關係以及相關性質；
4、有關線段垂直平分線的作圖問題.
二、典型例題解析例1、如圖1，已知ad是△abc的外角平分線，與bc的延長線交於點d，de∥ac交ba的延長線於點e，df∥ab交ac的延長線於點f，求證：ad⊥ef.
證明：∵ad平分∠cae，∴∠cad＝∠ead，
∵de∥ac，∴∠ade＝∠cad
∴∠ade＝∠ead，∴ae＝de，
∴點e**段ad的垂直平分線上，
同理可證：af＝df，
∴點f**段ad的垂直平分線上，
∴直線ef垂直平分線段ad，即ad⊥ef.
例2、如圖2，已知在△abc中，bc＝2ab，∠abc＝2∠c，求證：△abc是直角三角形.
證明：作bc的垂直平分線交ac於點d，交bc於點e，連線bd、de，則bd＝cd，be＝ce＝ab，∠deb＝90°，
∴∠c＝∠dbc，∵∠abc＝∠abd＋∠dbc＝2∠c，
∴∠abd＝∠ebd，
在△abd和△ebd中，ab＝eb，∠abd＝∠ebd，bd＝bd，∴△abd≌△ebd，
∴∠bac＝∠deb＝90°，即△abc是直角三角形.
例3、已知a、b是平面上的兩個定點，在這個平面上有多少個點c，使得△abc是等腰直角三角形？
解：一共有6個點c使得△abc是等腰直角三角形.分以下兩種情況討論：
（1）當ab為所求等腰直角三角形的腰時，如圖3—1所示，點均滿足條件；
（2）當ab為所求等腰直角三角形的斜邊時，如圖3—2所示，點均滿足條件.綜合（1）、（2）可知滿足條件的點c一共有6個.
例4、如圖4—1，已知線段和∠，求作△abc，使得在△abc中，∠acb＝∠，ac＝，ab＝.（保留作圖痕跡，標明頂點名稱，寫出作法）
作法：如圖4—2，△ab1c和△ab2c即為所求.
（1）作∠dce＝∠，
（2）在射線ce上取一點a，使ca＝，
（3）以a為圓心，以線段的長度為半徑，作弧交射線cd於點b1、b2，
（4）連線ab1、ab2，則△ab1c和△ab2c即為所求.
思考：在△abc中，已知∠acb＝45°，且ac＝6，ab＝5，求bc邊的長.
解：如圖4—3，△abc有圖中的△ab1c和△ab2c兩種可能的情況：
（1）當點b位於圖中的點b1處時，過a作ad⊥cd於點d，則：
在rt△acd中，由∠adc＝90°，∠acb＝45°，ac＝6得：ad＝cd＝，
在rt△ab1d中，由∠ad b1＝90°，ad＝，a b1＝5得：b1d＝，
∴b1c＝；
（2）當點b位於圖中的點b2處時，過a作ad⊥cd於點d，則：
在rt△acd中，由∠adc＝90°，∠acb＝45°，ac＝6得：ad＝cd＝，
在rt△ab2d中，由∠ad b2＝90°，ad＝，a b2＝5得：b2d＝，
∴b2c＝；
綜上可知，邊bc的長度為或.
自我測評試題
一、選擇題
1、如果乙個三角形三邊垂直平分線的交點在這個三角形內，那麼這個三角形是（ ）.
a、銳角三角形b、直角三角形
c、鈍角三角形d、以上情況都有可能
2、如圖5，已知a、b是直線m外兩點，在m上求作一點p，使得pa＋pb最小，其作法應該是（ ）.
a、連線ba並延長，與直線m的交點為p；
b、連線ab，作ab垂直平分線與m的交點為p；
c、過點b作直線m的垂線，與m的交點即為p；
d、過點a作直線m的垂線，垂足為o，延長ao到點a′，使oa′＝oa，在連線a′b，則a′b與直線m的交點為p；
3、在△abc中，ab＝ac，ab的垂直平分線交ac於點d，且△abc和△bcd的周長分別為60cm和38cm，則△abc的腰長和底邊長分別是（ ）.
a、24cm和12cm b、16cm和22cm c、22cm和16cm d、20cm和16cm
4、如圖6，已知在△abc中，∠acb＝70°，ab＝ac，ab的垂直平分線交ab於點e，交ac於點d，則∠bdc
a、80° b、70° c、60° d、55°
5、已知a、b、c是同一平面上的三個點，那麼到這三個點的距離都相等的點（ ）.
a、有且只有乙個b、有兩個
c、三個或三個以上d、有乙個或沒有
二、填空題
6、已知在△abc中，ab＝ac，點p在△abc內，且pb＝pc，則直線pa與bc所在直線的夾角的度數為（ ）.
7、如圖7，已知de是△abc的ab邊的垂直平分線，d為垂足，de與bc邊交於點e，若ac＝5，bc＝8，那麼△ace的周長為（ ）.
8、在△abc中，ab＝ac，ab的垂直平分線與ac所在直線的夾角為50°，則這個等腰三角形的底角為（ ）.
9、已知在等腰直角三角形abc中，ab＝ac，bc＝2，其斜邊上的中線與一腰的垂直平分線交於點o，則點o到頂點a、b的距離分別是（ ）和
10、如圖8，在△abc中，ac＝bc，ac的垂直平分線與ac交於點e，與ab交於點d，若∠acb＝120°，則ad：bd
三、解答題
11、如圖9，一輛汽車在一條筆直的公路ab上從a向b行駛，m、n表示分別位於公路ab兩側的兩個村莊，汽車從a向b行駛的過程中，（保留作圖痕跡，並寫出作法）
（1）請在圖中的公路ab上作出一點c，使得點c到村莊m的距離最近；
（2）請在圖中的公路ab上作出一點d，使得點d到村莊m、n的距離相等；
12、如圖10，在△abc中， ad平分∠bac，交bc於點d，ad的垂直平分線交ad於e，交bc的延長線於p，
（1）求證：∠pac＝∠b；
（2）求證：.
參***：
一、選擇題
答案： 1、a 2、d 3、c 4、a 5、d
提示： 1、三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內時，三角形為銳角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點在三角形某一邊上時，三角形為直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外時，三角形為鈍角三角形；.
2、先將點a對稱到點a′，則p a′＋pb當且僅當點p為a′b與直線m的交點時最，即選項d正確.
3、由d點在ab的垂直平分線上得ad＝bd，因此△bcd的周長為bc＋cd＋db＝bc＋cd＋ad＝bc＋ac＝38；又因為△abc的周長為ab＋bc＋ca＝60.所以，ab＝22，從而bc＝16.應選擇c.
4、由∠c＝70°以及ab＝ac得，∠abc＝∠c＝70°，∠a＝40°，又由de垂直平分ab得：ad＝bd，∠abd＝∠a＝40°，∴∠bdc＝∠a＋∠abd＝80°.
5、分a、b、c三點在同一條直線上和不在同一條直線上，這兩種情況討論即可得知應選擇d.
二、填空題
答案： 6、90° 7、13 8、20°或70° 9、1，1 10、1：2
提示： 6、由ab＝ac知點a在bc的垂直平分線上，由pb＝pc知點p在bc的垂直平分線上.因此，直線pa是bc的垂直平分線，即pa⊥bc.
7、de垂直平分ab，故ae＝be，所以△ace的周長為ac＋ce＋ae＝ac＋ce＋be＝ac＋bc＝5＋8＝13.
8、分頂角是銳角和鈍角兩種情況討論即可得解.
9、點o即為這個等腰直角三角形斜邊上的中點，此時oa＝ob＝oc＝1.
10、連線cd，則ad＝cd，∠a＝∠b＝∠acd＝30°，∴∠bcd＝120°－30°＝90°，在△bcd中，bd＝2cd＝2ad，即ad：bd＝1：2.
三、解答題
11、（1）如圖11，點c即為所求.具體作法如下：過點m作mc⊥ab於點c.
（2）如圖11，點d即為所求.具體作法如下：作線段mn的垂直平分線，交ab於點d，點d即為所求.
12、（1）∵pe垂直平分ad，則pa＝pd，∴∠pad＝∠pda，∵∠pad＝∠pac＋∠dac，∠pda＝∠b＋∠bad，而ad平分∠bac，，∴∠bad＝∠cad，∴∠pac＝∠b.
（2）在△pac和△pba中，∠pac＝∠b，∠apc＝∠bpa，∴△pac∽△pba，∴pa：pb＝pc：pa. ∴pa2＝pb·pc，即pd2＝pb·pc.
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九上第一章 證明二 一 選擇題 1 如圖，已知 abc為直角三角形，c 90 若沿圖中虛線剪去 c，則 1 2等於 a 270 b 135 c 90 d 315 2 如圖，abc中，c 90 ac bc，ad平分 cab交bc於點d，de ab，垂足為e，且ab 6cm，則 deb的周長為 a 4c...
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