一、準備知識：
引理1．剩餘系定理2
若a,b,c為任意3個整數，m為正整數，且(m,c)=1,則當ac≡bc(mod m)時，有a≡b(mod m)
證明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因為(m,c)=1即m,c互質，c可以約去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2．剩餘系定理5
若m為整數且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]為m個整數，若在這m個數中任取2個整數對m不同餘，則這m個整數對m構成完全剩餘系。
證明：構造m的完全剩餘系（0,1,2,…m-1），所有的整數必然這些整數中的1個對模m同餘。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1 引理3．剩餘系定理7
設m是乙個整數，且m>1，b是乙個整數且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的乙個完全剩餘系，則ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也構成模m的乙個完全剩餘系。
證明：若存在2個整數ba和ba[j]同餘即ba≡ba[j](mod m)，根據引理2則有a≡a[j](mod m)。根據完全剩餘系的定義和引理4（完全剩餘系中任意2個數之間不同餘，易證明）可知這是不可能的，因此不存在2個整數ba和ba[j]同餘。
由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]構成模m的乙個完全剩餘系。
引理4．同餘定理6
如果a,b,c,d是四個整數，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),則有ac≡bd(mod m)
證明：由題設得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模運算的傳遞性可得ac≡bd(mod m)
二、證明過程：
構造素數p的完全剩餘系p=，因為(a,p)=1，由引理3可得a=也是p的乙個完全剩餘系。令w=1*2*3*4…*(p-1)，顯然w≡w(mod p)。令y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因為是p的完全剩餘系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即w*a^(p-1)≡w(modp)。
易知(w,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）
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