利用逐次逼近法，來證明微分方程的初值問題的解存在與唯一性定理。
一、【存在、唯一性定理敘述】
如果方程的右端函式在閉矩形區域上滿足如下條件：
（1）、在上連續；
（2）、在上關於變數滿足利普希茨條件，即存在常數，使對於上任何一點和有以下不等式：。
則初值問題在區間上存在唯一解，
其中二、【證明】
逐步迫近法：
微分方程等價於積分方程。
取，定義
可證明的滿足積分方程。
通過逐步迫近法可證明解的存在唯一性。
命題 1：先證積分方程與微分方程等價：
設是微分方程定義於區間上滿足初值條件
的解，則是積分方程定義於區間上的連續解。反之亦然。
證： 因是微分方程的解，有
兩邊從到取定積分，得：
代入初值條件得：
即是積分方程定義於區間上的連續解。
反之，則有
微分得：
且當時有。即是微分方程定義於區間上滿足初值條件的解。
現取，代入積分方程的右端，所得函式用表示，則，再將代入積分方程的右端，所得函式用表示，則，以上稱為1次近似,稱為2次近似。以此類推得到次近似。
從而構造逐步迫近函式序列為：
命題 2：對所有,函式序列在上有定義、連續且滿足不等式證：當時，
。顯然在上有定義、連續且有
，即命題2當時成立。
由數學歸納法，設命題2當時成立，則對有：
知在上有定義、連續且有
命題2當時也成立。
由數學歸納法原理得命題2對所有均成立。
命題 3：函式序列在上一致收斂。
證：只須考慮級數-----（*）
在上一致收斂。
因其部分和為：，因，
設對成立。
則當時有
即對所有，在成立。
其右端組成正項收斂級數
由魏氏判別法，級數（*）在上一致收斂。即在上一致收斂。命題3得證。
現設則在上有定義、連續且
命題 4：是積分方程在上的連續解。
證： 由利普希茨條件及在上一致收斂於，知函式序列在上一致收斂於。
於是即是積分方程在上的連續解。
命題5：設是積分方程在上的另一連續解。則。
證： 現證也是序列在上的一致收斂極限函式。由，， 得：，。
設，則。由數學歸納法，對所有，有 。
因此，對所有，在有成立。但當時。故在上的一致收斂於。由極限的唯一性，得。
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