存在唯一性定理如在上連續且關於滿足利普希茨條件，則方程在區間上存在唯一解，其中
逐步迫近法微分方程等價於積分方程
取，定義可證明的滿足積分方程。
通過逐步迫近法可證明解的存在唯一性。
命題1 先證積分方程與微分方程等價：
設是微分方程定義於區間上滿足初值條件
的解，則是積分方程定義於區間上的連續解。反之亦然。
證因是微分方程的解，有
兩邊從到取定積分
代入初值條件得
即是積分方程定義於區間上的連續解。
反之，則有
微分之且當時有。即是微分方程定義於區間上滿足初值條件的解。
現取，構造逐步迫近函式序列
命題2 對所有,函式序列在上有定義、連續且滿足不等式證當時。顯然在上有定義、連續且有
命題2當時成立。設命題2當時成立，則對
知在上有定義、連續且有
命題2當時也成立。由數學歸納法，命題2對所有均成立。
命題3 函式序列在上一致收斂。
證只須考慮級數
(3.9)
在上一致收斂。因其部分和為
因設對成立
則當時有
即對所有，在成立
其右端組成正項收斂級數
由魏氏判別法，級數(3.9) 在上一致收斂。即在上一致收斂。命題3得證。
現設則在上有定義、連續且
命題4是積分方程在上的連續解。
證由利普希茨條件
及在上一致收斂於，知函式序列在上一致收斂於。於是即是積分方程在上的連續解。命題4得證。
命題5 設是積分方程在上的另一連續解。則。
證現證也是序列在上的一致收斂極限函式。由
得設，則
由數學歸納法，對所有，有
因此，對所有，在成立
但當時。故在上的一致收斂於。由極限的唯一性，得。命題5得證。
解的存在唯一性定理證明
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