1.函式的概念（從運動變化的角度）設在乙個變化過程中有兩個變數x和y，如果對於x的每乙個值，y都有唯一的值與它對應，那麼就說x是自變數，y是x的函式.並將自變數x取值的集合叫做函式的定義域，和自變數x的值對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域.
這種用變數敘述的函式定義我們稱之為函式的傳統定義.
2.函式的概念（從集合的角度）：
定義:設a、b是非空的數集,如果按照某種確定的對應關係f,使對於集合a中的任意乙個數x,在集合b中
都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱 f: a→b為從集合a到集合b的乙個函式；記作y=f (x),x∈a。定義域的取值範圍a叫做函式的定義域; 與x值相對應的y值叫做函式值；函式值的集合叫值域；值域一般用c表示；cb.
3.對映的概念：
1．定義：設a、b是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對於集合a中的任何乙個元素在集合b中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從a到b的對映，記作f：a→b.
2．象與原象：對於對映f：a→b，和a中的元素a對應的b中的元素b叫a的象，a叫b的原象．
3．對映的特點：①對映f：a→b包括集合a、b和對應法則f三個要素，三者缺一不可；②a中的元素都有唯一的象，但b中的元素不一定都有原象，如果有，也不一定唯一；③b.
4.對應；對映；函式三者的關係：
對應、對映、函式三個概念既有共性又有區別．函式是一種
特殊的而又是一種特殊的對應
5.三要素：①定義域；②值域；③對應法則．
6．表示法：①列表法；②解析法；③圖象法．
7．分段函式：當函式用解析法表示時，函式的解析式不是由乙個式子給出的，它是由兩個或兩個以上的數學式子給出的．分段函式的定義域為它在各段上的定義域的並集，對應法則各段各異，分段函式是乙個整體．
8.如果y＝f(u)，u＝g(x)，那麼y＝f[g(x)]，叫做f和g的復合函式，其中g(x)為f(u)為
9求解析式的方法
（1）已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，一般有兩種方法
(2)已知函式f(x)的型別，求f(x)的解析式，一般利用
(3)已知f(x)與f(－x)或f(x)與f()之間的關係式，求f(x)的解析式，一般用
(4)根據實際意義(如面積、距離等)總結函式的解析式，注意定義域中的特殊值．另外，在求函式的解析式時也要注意標上定義域
(5)賦值法:給出抽象函式關係，則可給變數賦予某些特殊值，從而求出其解析式.
10求函式的定義域，主要涉及以下幾個方面：
（1）分式的不為零；
對數函式的都必須大於零，底數必須大於零且不為1；
（2）偶次方根的非負
（3）零指數冪的底數不能為零
（4）指數型函式y＝ax(a＞0且a≠1)，定義域為x∈r.
（5）多項式型函式：定義域為實數集
(6)若f(x)是由有限個基本初等函式的四則運算合成的函式時，則其定義域一般是各基本初等函式的定義域的交集．
(7)對於求復合函式定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a，b]，其復合函式f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出．
(8)對於含字母引數的函式，求其定義域，根據問題具體情況需對字母引數進行分類討論．
(9)由實際問題確定的函式，其定義域除使函式有意義外，還要符合問題的實際意義．
1.求函式值域的常用方法
求函式的值域沒有通性解法，只能依據函式解析式的結構特徵來確定相應的解法．常用的方法有：
(1)配方法：配方法是「 二次函式類」求值域的基本方法，形如f(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函式的值域問題，均可使用配方法．
(2)利用函式和它的反函式的定義域與值域的互逆關係，通過求反函式的得到原函式的形如ya≠0)的函式的值域，均可使用反函式法．此外，這種型別的函式值域也可使用「分離常數法」求解．
(3)判別式法：把函式轉化成關於x的二次方程f(x，y)＝0，通過方程有實根，判別式從而求得原函式的值域．形如y＝ (a1，a2不同時為零)的函式的值域常用此法求解．
(4)換元法：運用代數或三角代換，將所給函式化成值域容易確定的另一函式，從而求得原函式的值域．形如y＝ax＋ba、b、c、d均為常數，且a≠0)的函式值域常用此法求解
(5)不等式法：利用基本不等式a，b∈r＋)求函式的值域．用不等式法求值域時，要注意均值不等式的使用條件
(6)單調性：確定函式在定義域(或某個定義域的子集上)的求出函式的值域．形如y的函式的值域均可使用此法求解．
(7)數形結合法：利用函式所表示的意義，借助於幾何方法求出函式的值域．
二、求函式值域的基本方法
1．配方法
若函式型別為二次函式，則採用此法求其值域，其關鍵在於正確化成完全平方式．
2．換元法
常用代數或三角代換法，把所給函式代換成值域容易確定的另一函式，從而求得原函式的值域．形如y＝ax＋b± (a，b，c，d均為常數且ac≠0)的函式常用此法求解．
3．判別式法
若函式為分式結構，且分母中含有未知數x2，則常用此法．通常去掉分母轉化為一元二次方程，再由判別式δ≥0，確定y的範圍，即為原函式的值域．
4．不等式法
借助於重要不等式a＋b≥2 (a＞0，b＞0)求函式的值域．用不等式法求值域時，要注意均值不等式的使用條件「一正、二定、三相等」．
5．反函式法
若原函式的值域不易直接求解，可以考慮求其反函式的定義域，根據互為反函式的兩個函式定義域與值域互換的特點，確定原函式的值域，如y＝ (a≠0)型函式的值域，可採用反函式法．也可用分離常數法．
6．單調性法
首先確定函式的定義域，然後再根據其單調性求函式值域，常用到函式y＝x＋ (p＞0)的單調性，增區間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區間為[－，0)和
(0，]．
7．數形結合法
如果所給函式的解析式有較明顯的幾何意義，可借助幾何法求函式的值域或最值，形如，可聯想兩點(x，y)與(x1，y1)的連線的斜率；形如可聯想兩點(x，y)與(x1，y1)的距離
8．利用函式的有界性法
形如y＝ (或y＝)的函式，可用y表示出sinx(或x2)，再根據－1≤sinx≤1(或x2≥0)，解關於y的不等式，可求y的取值範圍，即函式的值域．
9．導數法
通過導數可求函式在乙個閉區間上的最大值和最小值，即得出函式的值域，此法主要用於求高次函式或由不同的基本初等函式構成的較複雜函式的值域或最值．
一、函式的奇偶性
1．奇函式、偶函式及函式的奇偶性定義：
對於函式f(x)：①如果對於函式定義域內任意乙個自變數x，都有f(－x)＝－f(x)，那麼函式f(x)就是奇函式；②如果對於函式定義域內任意乙個自變數x，都有f(－x)＝f(x)，那麼函式f(x)就是偶函式；③如果乙個函式是奇函式或偶函式，則稱這個函式在其定義域內具有奇偶性．
2．判斷函式奇偶性的方法步驟：
(1)觀察函式的定義域是否關於原點對稱，若不是則函式不具有奇偶性，若是再判斷f(－x)與f(x)的關係．
(2)若f(x)＝0且定義域關於原點對稱，則該函式既是奇函式又是偶函式．
3．奇偶函式圖象的性質：
奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱，反之亦成立．
三、要點理解
1．由函式的定義可知，若乙個函式具有奇偶性，則其定義域必關於原點對稱，函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要不充分條件．
2．在判斷函式是否具有奇偶性時，為了便於判斷，有時需要將函式進行化簡，或應用定義的變通形式：f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0＝±1，(f(x)≠0)．
．記住奇偶函式的七個性質，有利於解題．
(1)兩個奇函式的和、差是奇函式，積、商是偶函式；
(2)兩個偶函式的和、差、積、商都是偶函式；
(3)一奇一偶的兩個函式的積、商是奇函式；
(4)奇函式圖象關於原點對稱，並且在兩個關於原點對稱的區間上有相同的單調性；
(5)偶函式圖象關於y軸對稱，並且在兩個關於原點對稱的區間上的單調性相反；
(6)f(x)為偶函式f(x)＝f(|x|)；
(7)若奇函式f(x)的定義域含有元素0，則f(0)＝0.
一、單調性的定義
設函式f(x)的定義域為i：如果對於屬於定義域i內某個區間上的任意兩個自變數x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是增函式；如果對於屬於定義域i內某個區間的任意兩個自變數x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函式．
即x1＜x2f(x1)＜f(x2)f(x)在i上為增函式；
x1＜x2f(x1)＞f(x2)f(x)在i上為減函式．
二、復合函式的單調性
設函式y＝f(u)，u＝g(x)都是單調函式，那麼復合函式y＝f[g(x)]在其定義域上也是單調函式，對於復合函式的單調性，可概括為「同增異減」，或用下表說明
三、判斷函式單調性的方法
1．定義法；
2．導數法；
3．利用已知函式的單調性；
4．利用復合函式單調性的結論；
5．利用圖象．
四、奇、偶函式的單調性關係
函式及其表示
新高一必修1 1.2函式及其表示 一 函式的概念 觀察下列三種對應 一枚炮彈發射後,經過26 s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度為h 單位 m 隨時間t 單位 s 變化的規律是 時間t的變化範圍是數集,h的變化範圍是數集.則有對應 t a,h b.近幾十年來,大氣層的臭氧...
函式及其表示
考綱要求 1 了解構成函式的要素，會求一些簡單函式的定義域和值域 了解對映的概念 2 在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法 如圖象法 列表法 解析法 表示函式 3 了解簡單的分段函式，並能簡單地應用 1 函式與對映的概念 2 函式的有關概念 1 函式的定義域 值域 在函式y f x x a中...
學案函式及其表示
校區 教室 上課時段 上課教師姓 學生姓名 函式概念與基本初等函式 第1講函式及其表示 一 對映 1 對映 設a b是兩個集合，如果按照某種對應關係f，對於集合a中的元素，在集合b中都有元素和它對應，這樣的對應叫做到的對映，記作 2 象與原象 如果f a b是乙個a到b的對映，那麼和a中的元素a對應...