第22章:二次函式與反比例函式強化記憶知識點
知識點1：二次函式的圖象與係數的關係.
二次函式中圖象與係數的關係:（1）二次項係數的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小． a>0時，開口向上，a<0時，開口向下。越大，開口越小。
越小，開口越大。（2）一次項係數，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．若，則對稱軸在軸左邊，若，則對稱軸在軸的右側。若b=0，則對稱軸＝0,即對稱軸是軸.
概括的說就是「左同右異,y軸0」 （3）常數項，決定了拋物線與軸交點的位置．當時，交點在軸的正半軸上 ;當時，拋物線經過原點，;當時，交點在軸的負半軸上, 簡記為「上正下負原點0」(4) △=b2－4ac 決定了拋物線與x軸交點的個數. ① 當時，拋物線與軸有兩個交點 ② 當時，拋物線與軸只有乙個交點； ③ 當時，拋物線與軸沒有交點.另外當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
注：a+b+c 表示x=1時，對應的函式值。a-b+c表示x= －1時，對應的函式值.
4a+2b+c表示x=2時，對應的函式值。9a-3b+c表示x= －3時，對應的函式值.等
知識2：一次函式的圖象與係數的關係.
一次函式:y=kx＋b(k,b是常數，k≠0) 中圖象與係數的關係:
（1）走向：k>0，圖象經過第
一、三象限；k<0，圖象經過第
二、四象限
b>0，圖象經過第
一、二象限；b<0，圖象經過第
三、四象限
直線經過第
一、二、三象限直線經過第
一、三、四象限
直線經過第
一、二、四象限直線經過第
二、三、四象限
（2）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.
（3）截距: 當b>0時，圖象交於y軸正半軸, 當b<0時，圖象交於y軸負半軸,當b=0時，圖象交於原點.
（4）傾斜度：|k|越大，圖象越接近於y軸；|k|越小，圖象越接近於x軸.
知識3：反比例函式的圖象與係數的關係以及反比例函式性質.
反比例函式:y＝（k為常數，k≠0）中圖象與係數的關係:
（1）反比例函式的增減性不連續，在討論函式增減問題時，必須有「在每乙個象限內」這一條件。
（2）反比例函式影象的兩個分只可以無限地接近x軸、y軸，但與x軸、y軸沒有交點。
3） 越大，圖象的彎曲度越小， 越小，圖象的彎曲度越大，雙曲線越靠近座標軸．
（1）反比例函式解析式（k≠0）的確定：利用待定係數法（只需一對對應值或影象上乙個點的座標即可求出）為了計算的方便通常變形成k=xy,即k等於影象上任意乙個點的橫座標與縱座標的乘積。
（2） 反比例函式y＝（k≠0）中的比例係數k的幾何意義:表示反比例函式影象上的點向兩座標軸所作的垂線段與兩座標軸圍成的矩形的面積。如圖，過雙曲線y＝（k≠0）上的任意一點p（x , y）做x軸、y軸的垂線pa、pb，所得矩形obpa的面積:
推論：過雙曲線上的任意一點做座標軸的垂線，連線原點，所得三角形的面積為
(3）反比例函式y＝（k≠0）圖象的對稱性： 圖象關於原點對稱:即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上．圖象關於直線y=-x和y=x對稱:
即若（a，b）在雙曲線的一支上，則(-b,-a)或（b,a）在雙曲線的另一支上．
反比例函式影象與性質口訣:
反比例函式雙曲線，待定只需乙個點，k為正,圖在
一、三(象)限；k為負,圖在
二、四(象)限;圖在
一、三函式減,兩個分支分別減；圖在
二、四正相反,兩個分支分別增;線越長越近軸,永遠與軸不沾邊.圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線.
知識點4：二次函式的圖象的性質
二次函式y=ax2+bx+c圖象的性質
二次函式的影象和性質
幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
二次函式影象與性質口訣:
二次方程零換y，二次函式便出現。全體實數定義域， 影象叫做拋物線。
二次函式拋物線，圖象對稱是關鍵；兩邊單調正相反, 增減特性可看圖。
線軸交點叫頂點，頂點座標最重要, 橫標即為對稱軸, 縱標函式最值現。
開口、大小由a斷,c與y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關聯；y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；△的符號最簡便，x軸上數交點.一般、頂點、交點式，不同表達能互換。如果要畫拋物線，描點平移兩條路。
提取配方定頂點，兩條途徑再挑選。列表描點後連線，平移規律記心間。左加右減括號內，號外上加下要減。
知識點5：有關拋物線的平移問題
由於拋物線的開口方向與開口大小均由二次項係數a確定，所以兩個二次函式如果a相等，那麼其中乙個函式的圖象可以由另乙個函式的圖象平移得到，所以形如y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2+k(a≠o，a、k、h為常數)形式的函式圖象可以相互平移得到，而具體平移方式一般由各函式的頂點座標來確定．平移方式如下圖：任意拋物線y=ax2+bx+c可以由拋物線y=ax2經過適當地平移得到，具體平移方法下圖所示：
數形結合法： ①將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
（抓住頂點） ② 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處。
公式法（結論法）：概括成八個字「左加右減，上加下減」．
y=ax2+bx+c沿 x軸向左平移h個單位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c
y=ax2沿 x軸向左（右）平移h個單位得y=a(x+h)2
y=a(x+h)2+k沿 x軸向左（右）平移m個單位得y=a(x+h+m)2+k （或y=a(x+h-m)2+k）
1 y=ax2+bx+c 沿 y 軸向上（下）平移k個單位得 y=ax2+bx+c+k （或y=ax2+bx+c-k）
y=ax2沿 y軸向上（下）平移k個單位得y=ax2 +k （或y=ax2-k）
y=a(x+h)2+k沿 y軸向上（下）平移n個單位得y=a(x+h)2+k+n（或y=a(x+h)2+k+n）
注：對於一般式抓住與y軸的交點或頂點，對於頂點式抓住頂點。
函式影象的移動規律口訣:
若把一次函式解析式寫成y=k（x+0）+b，二次函式的解析式寫成y=a（x+h）2+k的形式，
則用下面後的口訣：「左右平移在括號,上下平移在末稍,左加右減須牢記,上加下減錯不了」
知識點6：.二次函式三種表示方法及解析式求法：
（1）一般式：（，，為常數，）；
（2）頂點式：（，，為常數，）；
（3）交點式（兩根式）：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）
求二次函式解析式的方法.
(1)利用待定繫法求二次函式關係式時，一般先設函式關係式，然後通過解方程（組）來求待定的係數。有3種設法。①頂點未知時，設一般式：（）
②已知頂點座標為(h,k),設頂點式：（）
③已知拋物線與軸兩交點的座標為（x1 ,0）與 (x2,0),設交點式（）
注：以下4種是以上3種的特例：①已知頂點在原點，可設y=ax2 （）
②對稱軸是y軸或頂點在y軸上，可設y=ax2+c（）
③頂點在x軸上，可設y=a(x-h)2（）④拋物線過原點，可設y=ax2+bx （）
另外選擇一般式時, 把三點或三對、的值代入外,有時通過對稱軸方程或頂點座標公式列方程.
(2)根據拋物線間的關係求二次函式解析式.
解這類題的關鍵是深刻理解平移前後兩拋物線間的關係，以及所對應的解析式間的聯絡，並注意逆向思維的應用。另外，還可關注拋物線的頂點發生了怎樣的移動，常見的幾種變動方式有：①開口反向（或旋轉1800），此時頂點座標不變，只是反號；②兩拋物線關於軸對稱，此時頂點關於軸對稱，反號；③兩拋物線關於軸對稱，此時頂點關於軸對稱；這類問題，必須把已知二次函式的解析式化成「頂點式」。
(3)已知拋物線與x軸兩交點間的距離求二次函式解析式
當已知二次函式與x軸兩交點間的距離時，常用一般式、韋達定理和關係式：
(4) 根據根與係數的關係求二次函式關係式。
知識點7：求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1） 公式法：，
∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
（3）運用拋物線的對稱性：設a(x1，ya），b (x2，yb）是拋物線上的兩點，且ya=yb，則拋物線的對稱軸為直線
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
知識點8：直線與拋物線的交點
（1）軸與拋物線得交點為(0,).
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
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