一 、空間幾何體
（三）空間幾何體的表面積與體積
空間幾何體的表面積
稜柱、稜錐的表面積：各個面面積之和
圓柱的表面積
圓錐的表面積：
圓台的表面積：
球的表面積：
扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半徑，表示弧度）
空間幾何體的體積
柱體的體積
錐體的體積 ：
台體的體積
球體的體積：
（四）空間幾何體的三檢視和直觀圖
正檢視：光線從幾何體的前面向後面正投影，得到的投影圖。
側檢視：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。
俯檢視：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。
★畫三檢視的原則：
正俯長相等、正側高相同、俯側寬一樣
注：球的三檢視都是圓；長方體的三檢視都是矩形
直觀圖：斜二測畫法
斜二測畫法的步驟：
（1）平行於座標軸的線依然平行於座標軸；
（2）平行於y軸的線長度變半，平行於x，z軸的線長度不變；
（3）畫法要寫好
用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側稜（4）成圖
二 、點、直線、平面之間的關係
（一）、立體幾何網路圖：
1、線線平行的判斷：
（1）、平行於同一直線的兩直線平行。
（3）、如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。
（6）、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
（12）、垂直於同一平面的兩直線平行。
2、線線垂直的判斷：
（7）、在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
（8）、在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它和這條斜線的射影垂直。
（10）、若一直線垂直於一平面，這條直線垂直於平面內所有直線。
補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。
3、線面平行的判斷：
（2）、如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。
（5）、兩個平面平行，其中乙個平面內的直線必平行於另乙個平面。
判定定理：
性質定理：
★判斷或證明線面平行的方法
⑴ 利用定義(反證法)：，則∥α (用於判斷)；
⑵ 利用判定定理：線線平行線面平行 (用於證明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行線面平行 (用於證明)；
⑷ 利用垂直於同一條直線的直線和平面平行(用於判斷)。
2 線面斜交和線面角：∩ α = a
2.1 直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面**影的夾角θ。
2.2 線面角的範圍：θ∈[0°，90°]
注意：當直線在平面內或者直線平行於平面時，θ=0°；
當直線垂直於平面時，θ=90°
4、線面垂直的判斷：
⑼如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直於這個平面。
⑾如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面。
⒁一直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面。
⒃如果兩個平面垂直，那麼在—個平面內垂直於交線的直線必垂直於另—個平面。
判定定理：
性質定理：（1）若直線垂直於平面，則它垂直於平面內任意一條直線。
即：2）垂直於同一平面的兩直線平行。
即：★判斷或證明線面垂直的方法
⑴ 利用定義，用反證法證明。
⑵ 利用判定定理證明。
⑶ 一條直線垂直於平面而平行於另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。
⑷ 一條直線垂直於兩平行平面中的乙個，則也垂直於另乙個。
⑸ 如果兩平面垂直，在一平面內有一直線垂直於兩平面交線，則該直線垂直於另一平面。
★1.5 三垂線定理及其逆定理
⑴ 斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中， 斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。
如圖：⑵ 三垂線定理及其逆定理
已知po⊥α，斜線pa在平面α內的射影為oa，a是平面
α內的一條直線。
① 三垂線定理：若a⊥oa，則a⊥pa。即垂直射影則垂直斜線。
② 三垂線定理逆定理：若a⊥pa，則a⊥oa。即垂直斜線則垂直射影。
⑶ 三垂線定理及其逆定理的主要應用
① 證明異面直線垂直；
② 作出和證明二面角的平面角；
③ 作點到線的垂線段。
5、面面平行的判斷：
⑷乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面，這兩個平面平行。
⒀垂直於同一條直線的兩個平面平行。
6、面面垂直的判斷：
⒂乙個平面經過另乙個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。
判定定理：
性質定理：
⑴ 若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；
（2）（3）
（4）（二）、其他定理：
（1）確定平面的條件：①不公線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線；
（2）直線與直線的位置關係： 相交 ； 平行 ； 異面 ；
直線與平面的位置關係： 在平面內 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情況） ；
平面與平面的位置關係： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行且方向相同，那麼這兩個角相等；
如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；
（4）射影定理（斜線長、射影長定理）：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。
（5）最小角定理：斜線與平面內所有直線所成的角中最小的是與它在平面**影所成的角。
（6）異面直線的判定：
①反證法；
②過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不過該點的直線是異面直線。
（7）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內。
（8）如果—直線平行於兩個相交平面，那麼這條直線平行於兩個平面的交線。
（三）、唯一性定理：
（1）過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。
（2）過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。
四、空間角的求法：（所有角的問題最後都要轉化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）
（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉化為平面內相交直線所成的角。異面直線所成角的範圍：；
（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內：線面所成的角為； ②線面垂直：線面所成的角為；
③斜線與平面所成的角：範圍；即也就是斜線與它在平面內的射影所成的角。
線面所成的角範圍
（3）二面角：關鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；
二面角的平面角的範圍：；
五、距離的求法：
（1）點點、點線、點麵距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然後再計算。
注意：求點到面的距離的方法：
①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；
②轉移法：轉化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質）；
③體積法：利用三稜錐體積公式。
（2）線線距離：關於異面直線的距離，常用方法有：
①定義法，關鍵是確定出的公垂線段；
②轉化為線面距離，即轉化為與過而平行於的平面之間的距離，關鍵是找出或構造出這個平面；③轉化為麵麵距離；
（3）線面、面面距離：線面間距離麵麵間距離與線線間、點線間距離常常相互轉化；
六、常用的結論：
（1）若直線在平面內的射影是直線，直線是平面內經過的斜足的一條直線，與所成的角為，與所成的角為,與所成的角為，則這三個角之間的關係是；
（2）如何確定點在平面的射影位置：
①ⅰ、如果乙個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那麼這點在平面上的射影在這個角的平分線上；
ⅱ、經過乙個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等，那麼斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；
ⅲ、如果平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。
②垂線法：如果過平面外一點的斜線與平面內的一條直線垂直，那麼這一點在這平面上的射影在過斜足且垂直於平面內直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；
③垂面法：如果兩平面互相垂直，那麼乙個平面內任一點在另一平面上的射影在這兩面的交線上(面面垂直的性質定理)；
④整體法：確定點在平面的射影，可先確定過一點的斜線這一整體在平面內的射影。
（3）在四面體中：
①若，則；且在平面上的射影是的垂心。
②若，則在平面上的射影是的外心。
③若到邊的距離相等，則在平面上的射影是的內心。
（4）異面直線上兩點間的距離公式：若異面直線所成的角為，它們公垂線段的長為，在上分別取一點，設，；
則（如果為銳角，公式中取負號，如果為鈍，公式中取正號）
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