八、立體幾何
一、立體幾何網路圖：
（1）線線平行的判斷：
⑴平行於同一直線的兩直線平行。
⑶如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。
⑹如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
⑿垂直於同一平面的兩直線平行。
（2）線線垂直的判斷：
⑺在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
⑻在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它和這條斜線的射影垂直。
⑽若一直線垂直於一平面，這條直線垂直於平面內所有直線。
補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。
（3）線面平行的判斷：
⑵如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。
⑸兩個平面平行，其中乙個平面內的直線必平行於另乙個平面。
（4）線面垂直的判斷：
⑼如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直於這個平面。
⑾如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面。
⒁一直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面。
⒃如果兩個平面垂直，那麼在—個平面內垂直於交線的直線必垂直於另—個平面。
（5）面面平行的判斷：
⑷乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面，這兩個平面平行。
⒀垂直於同一條直線的兩個平面平行。
（6）面面垂直的判斷：
⒂乙個平面經過另乙個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。
二、其他定理：
（1）確定平面的條件：①不公線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線；
（2）直線與直線的位置關係： 相交 ； 平行 ； 異面 ；
直線與平面的位置關係： 在平面內 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情況） ；
平面與平面的位置關係： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行且方向相同，那麼這兩個角相等；
如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；
（4）射影定理（斜線長、射影長定理）：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。
（5）最小角定理：斜線與平面內所有直線所成的角中最小的是與它在平面**影所成的角。
（6）異面直線的判定：①反證法；
②過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不過該點的直線是異面直線。
（7）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內。
（8）如果—直線平行於兩個相交平面，那麼這條直線平行於兩個平面的交線。
（9）如果兩個相交平面都垂直於第三個平面，那麼它們的交線也垂直於第三個平面。
三、唯一性定理：
（1）過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。
（2）過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。
四、空間角的求法：（所有角的問題最後都要轉化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）
（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉化為平面內相交直線所成的角。異面直線所成角的範圍：；
注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時可找三角形的中位線。有的還可以通過補形，如：將三稜柱補成四稜柱；將正方體再加上三個同樣的正方體，補成乙個底面是正方形的長方體。
（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內：線面所成的角為； ②線面垂直：線面所成的角為；
③斜線與平面所成的角：範圍；即也就是斜線與它在平面內的射影所成的角。
（3）二面角：關鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；
注意：還可以用射影法：；其中為二面角的大小，為內的乙個封閉幾何圖形的面積；為內的乙個封閉幾何圖形在**影圖形的面積。一般用於解選擇、填空題。
五、距離的求法：
（1）點點、點線、點麵距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然後再計算。
注意：求點到面的距離的方法：
①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；
②轉移法：轉化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質）；
③體積法：利用三稜錐體積公式。
（2）線線距離：
關於異面直線的距離，常用方法有：
①定義法，關鍵是確定出的公垂線段；
②轉化為線面距離，即轉化為與過而平行於的平面之間的距離，關鍵是找出或構造出這個平面；③轉化為麵麵距離；
（3）線面、面面距離：線面間距離麵麵間距離與線線間、點線間距離常常相互轉化；
六、常用的結論：
（1）若直線在平面內的射影是直線，直線是平面內經過的斜足的一條直線，與所成的角為，與所成的角為,與所成的角為，則這三個角之間的關係是；
（2）如何確定點在平面的射影位置：
①ⅰ、如果乙個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那麼這點在平面上的射影在這個角的平分線上；
ⅱ、經過乙個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等，那麼斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；
ⅲ、如果平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。
②垂線法：如果過平面外一點的斜線與平面內的一條直線垂直，那麼這一點在這平面上的射影在過斜足且垂直於平面內直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；
③垂面法：如果兩平面互相垂直，那麼乙個平面內任一點在另一平面上的射影在這兩面的交線上(面面垂直的性質定理)；
④整體法：確定點在平面的射影，可先確定過一點的斜線這一整體在平面內的射影。
（3）在四面體中：
①若，則；且在平面上的射影是的垂心。
②若，則在平面上的射影是的外心。
③若到邊的距離相等，則在平面上的射影是的內心。
（4）異面直線上兩點間的距離公式：若異面直線所成的角為，它們公垂線段的長為，在上分別取一點，設，；
則（如果為銳角，公式中取負號，如果為鈍，公式中取正號）
七、多面體：
（1）稜柱：
①定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。
稜柱斜稜柱直稜柱正稜柱；
四稜柱平行六面體直平行六面體長方體正四稜柱正方體。
②性質：ⅰ、側面都是平行四邊形兩底面是全等多邊形；
ⅲ、平行於底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形；
ⅳ、長方體一條對角線長的平方等於乙個頂點上三條稜的長的平方和。
③面積：（是底周長，是高）
④體積：（為底面積，為高，為已知側面與它對稜的距離）
（2）稜錐：
①定義：有乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做稜錐；
正稜錐：底面是正多邊形，並且頂點在底面內的射影是底面中心，這樣的稜錐叫做正稜錐；
②性質：
ⅰ、平行於底面的截面和底面相似，
截面的邊長和底面的對應邊邊長的比等於截得的稜錐的高與原稜錐的高的比；
它們面積的比等於截得的稜錐的高與原稜錐的高的平方比；
截得的稜錐的體積與原稜錐的體積的比等於截得的稜錐的高與原稜錐的高的立方比；
ⅱ、正稜錐性質：各側面都是全等的等腰三角形；通過四個直角三角形，，，實現邊，高，斜高間的換算
③面積：（為底周長，為斜高）
④體積：（為底面積，為高）
（3）正四面體：
對於稜長為正四面體的問題可將它補成乙個邊長為的正方體問題。
對稜間的距離為（正方體的邊長）
正四面體的高（）
正四面體的體積為（）
正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）
外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）
內切球的半徑為（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑）
（4）正多面體：
①定義：每個面都是有相同邊數的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數目的稜的多面體叫做正多面體。
②尤拉公式：（為簡單多面體的頂點數，為面數，為稜數）
（表示各個面上的稜數，表示過各個頂點的稜數）
八、球（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面。 ②球體：球面所圍成的幾何體。
（2）性質：
①任意截面是圓面（經過球心的平面，截得的圓叫大圓，不經過球心的平面截得的圓叫小圓）
兩點的球面距離，是指經過球面上這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長。
②球心和截面圓心的連線垂直於截面，並且，其中為球半徑，為截面半徑，為球心的到截面的距離。
（3）面積公式：（為球半徑）； （4）體積公式：（為球半徑）
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