知識點1 反比例函式的定義
一般地，形如（k為常數，）的函式稱為反比例函式，它可以從以下幾個方面來理解：
⑴x是自變數，y是x的反比例函式；
⑵自變數x的取值範圍是的一切實數，函式值的取值範圍是；
⑶比例係數是反比例函式定義的乙個重要組成部分；
⑷反比例函式有三種表示式：
①（），
②（），
③（定值）（）；
⑸函式（）與（）是等價的，所以當y是x的反比例函式時，x也是y的反比例函式。
（k為常數，）是反比例函式的一部分，當k=0時，，就不是反比例函式了，由於反比例函式（）中，只有乙個待定係數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函式的表示式。
知識點2用待定係數法求反比例函式的解析式
由於反比例函式（）中，只有乙個待定係數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函式的表示式。
知識點3反比例函式的影象及畫法
反比例函式的影象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位於第
一、第三象限或第
二、第四象限，它們與原點對稱，由於反比例函式中自變數函式中自變數，函式值，所以它的影象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近座標軸，但永遠達不到座標軸。
反比例的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵描點；⑶連線。
再作反比例函式的影象時應注意以下幾點：
①列表時選取的數值宜對稱選取；
②列表時選取的數值越多，畫的影象越精確；
③連線時，必須根據自變數大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連線，切忌畫成折線；
④畫影象時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將影象與座標軸相交。
知識點4反比例函式的性質
☆關於反比例函式的性質，主要研究它的影象的位置及函式值的增減情況，如下表：
注意：描述函式值的增減情況時，必須指出「在每個象限內……」否則，籠統地說，當時，y隨x的增大而減小「，就會與事實不符的矛盾。
反比例函式影象的位置和函式的增減性，是有反比例函式係數k的符號決定的，反過來，由反比例函式影象（雙曲線）的位置和函式的增減性，也可以推斷出k的符號。如在第
一、第三象限，則可知。
☆反比例函式（）中比例係數k的絕對值的幾何意義。
如圖所示，過雙曲線上任一點p（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，e、f分別為垂足，
則☆ 反比例函式（）中，越大，雙曲線越遠離座標原點；越小，雙曲線越靠近座標原點。
☆ 雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是座標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=－x。
反比例函式知識點訓練
一.反比例函式的定義：.
1.下列函式中，是的反比例函式的是 ( )
abcd.
2.若函式是反比例函式，則的值是 ( )
a. ±1b. -1c. 1d. 2
4.若雙曲線經過點，則的值是
5.點、均在函式的圖象上，若,則 .
二.待定係數法求解析式：
1.乙個反比例函式的圖象經過點，則其函式關係式是
2.已知：與成反比例，且當時，，那麼當時，等於 ( ).
a. 0.5b.2c. -2d.-1
3.已知：，與成反比例，與成正比例，且當時；當時，求時的值.
4.已知反比例函式的圖象經過點.
(1)這個函式的圖象分布在哪幾個象限內?隨的增大如何變化?
(2)請判斷、、是否在這個函式的圖象上.
三.反比例函式的圖象性質：
[, , ]：
1.已知反比例函式的圖象在第
二、四象限，那麼一次函式的圖象經過( )象限.
a.一、
二、三 b.
一、二、四 c.
一、三、四d.
二、三、四
2.反比例函式的圖象關於軸對稱的反比例函式為
3.對於反比例函式,下列說法不正確的是 ( )
a.在每個象限內y值隨x值的增大而減小；b.當x小於零時，圖象分布在第三象限；
c.圖象一定經過點(-2,-6d.其圖象依次經過第
二、第四象限
[, , ]：
1.如圖，點a、b是函式()圖象上的兩點，分別過點a、b作軸的垂線，垂足分別是c、d，已知點o是座標原點，則△aoc、△bod的面積s1、s2的大小關係是( )
a.s1>s2 b.s1=s2 c.
s12.a、c是函式的圖象上任意兩點，過a作x軸的垂線交x軸於b，過c作y軸的垂線交y軸於d，記rt△aob的面積為s1，rt△cod的面積為s2，則（ ）
a.s1c.s1=s2d.s1和s2的大小關係不能確定
3.a、b是函式的圖象上關於原點對稱的任意兩點，ac∥y軸，交x軸於點c，bd∥y軸，交x軸於點d，設四邊形adbc的面積為s，則（ ）
a.s=1b.s=2
c.1＜s＜2d.s＞2
7、．已知，如圖，動點p在函式的圖象上運動，pm⊥x
軸於點m，pn⊥y軸於點n，線段pm、pn分別與直線
相交於點e，f，則af·be的值是（ ）
a．4 b．2 c．1d．
[, , ]：
1.已知反比例函式(),當時,值隨值的增大而減小,則一次函式的圖象一定不經過第______象限.
2.已知反比例函式的圖象上有兩點a(x1，y1)和b(x2，y2)，且x1a.y1>y2b.y1=y2c.y15.在函式(為常數，且)的圖象的一支在第四象限.
(1)圖象的另一支在第幾象限? 你能求出符合題意的k的取值範圍嗎?
(2)圖象上有三點(-1,y1)、、,你會比較y1、y2、y3的大小嗎?
（4）雙曲線與直線的研究：
1.函式與在同一座標系中的大致圖象可能是圖中的( )
2.在同一直角座標系中,正比例函式與反比例函式的圖象大體位置不可能是( )
abcd
3.如圖，一次函式的圖象與反比例函式的圖象交於、兩點.(1)求兩個函式的解析式；(2)根據圖象寫出使一次函式值大於反比例函式值的自變數的取值範圍.
4.已知反比例函式和一次函式的圖象都經過點.
(1)求點p的座標和兩個函式的解析式；
(2)若點、是反比例函式圖象上的點，請比較y1與y2.
5.已知反比例函式的圖象經過點，若一次函式的圖象平移後，經過該反比例函式圖象的點，求平移後的一次函式圖象與軸的交點座標.
6.已知一次函式的圖象與反比例函式()的圖象交於第四象限的一點.(1)求這個反比例函式的解析式.
(2)當-67.如圖，已知反比例函式的圖象經過點，過點a作x軸的垂線，垂足為b，△aob的面積是.(1)求k和b的值；(2)若一次函式的圖象經過點a，且與x軸交於點c，求△aoc的面積.
8.雙曲線在第一象限的一支上有一點，過點c的直線()與x軸交於點.（1）求點a的橫座標a與k之間的函式關係式；（2）當該直線與雙曲線在第一象限內的另一交點d的橫座標是9時，求△coa的面積.
9.已知：如圖，一次函式的圖象與兩座標軸交於a、b兩點，與函式的圖象交於c、d兩點，由點c向x軸做垂線，垂足為e.
（1）若△aob的面積是△ocd的面積的一半，求c點的座標；
（2）證明：不論b取任何不為零的實數，acbc為定值；
（3）延長co交函式的圖象於m點，試判斷△cdm的形狀.
四.實際問題與反比例函式：
1.甲、乙兩地相距100km，一輛汽車從甲地開往乙地,把汽車到達乙地所用的時間y(h)表示為汽車的平均速度x(km/h)的函式,則這個函式的圖象大致是 ( )
2.某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p(kpa)是氣體體積v(m3)的反比例函式，其圖象如圖所示.（1）當氣體體積為1m3時,氣壓是多少?
（2）當氣球內的氣壓大於150kpa時氣球將**.為了安全起見，氣體的體積應不小於多少?
3.某蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流i(單位：安)與電阻r(單位：歐)成反比例，其函式關係如圖所示:
（1）蓄電池的電壓(單位:伏)是多少？你能寫出這一函式的表示式嗎？
（2）完成下表，並回答問題：如果以此蓄電池為電源用電器限制電流不得超過10安，
那麼用電器的可變電阻應控制在什麼範圍內？
4.某種型號的熱水器的容量為180公升，設其工作時間為y分鐘，每分鐘的排水量為x公升.
(1)寫出y與x之間的關係式，y是x的反比例函式嗎？
(2)當每分鐘的排水量為10公升時，熱水器的工作時間是多長？
(3)若熱水器可連續工作的時間不超過1小時,則每分鐘的排水量應控制在什麼範圍內？
五．反比例函式綜合
在平面直角座標系中，直線y1=kx-4k與x軸、y軸分別交於點a、b，與直線y2=4x交於點c。雙曲線y=過點c，與直線y1交於另一點d，與直線y2交於另一點m。已知s△aco=8
（1）求雙曲線的解析式。
（2）點p為雙曲線第三象限圖象上一動點，連線po、pm、pc，pc交x軸於點q。若，求點p的座標。
反比例函式知識點總結
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