因式分解的一點補充——十字相乘法
教學重點和難點
重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項係數不是1的二次三項式因式分解。
難點：靈活運用十字相乘法因分解式。
一、 匯入新課
前一節課我們學習了關於x2+（p+q）x+pq這類二次三項式的因式分解，這類式子的特點是：二次項係數為1，常數項是兩個數之積，一次項係數是常數項的兩個因數之和。
因此，我們得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).
課前練習：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；
3．x4-7x2+184．x2-5xy+6y2。
答：1．-（x+3）（x-52．（x+y-12）（x+y+4）；
3．（x+3）（x-3）（x2+2）； 4．（x-2y）（x-3y）。
我們已經學習了把形如x2+px+q的某些二次三項式因式分解，也學習了通過設輔助元的方法把能轉化為形如x2+px+q型的某些多項式因式分解。
對於二次項係數不是1的二次三項式如何因式分解呢？這節課就來討論這個問題，即把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解。
二、新課
例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次項係數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然後交叉相乘，求代數和，使其等於一次項係數。
分解二次項係數（只取正因數）：
2=1×2=2×1；
分解常數項：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
1 11 31 -11 -3
2 × 32 × 12 × -32 × -1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）
=5757
經過觀察，第四種情況是正確有。這是因為交叉相乘後，兩項代數和恰等於一次項係數-7。
解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。
一般地，對於二次三項式ax2+bx+c（a≠0），如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1 c1
a2 × c2
a1c2 + a2c1
按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等於二次三項式ax2+bx+c的一次項係數b，即a1c2+a2c1=b，那麼二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。
像這種借助開十字交叉線分解係數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2 把6x2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次項係數6及常數項-5，把它們分別排列，可有8種不同的排列方法，其中的一種
2 1
3 × -5
2×（-5）+3×1=-7
是正確的，因此原多項式可以用直字相乘法分解因式。
解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。
指出：通過例1和例2可以看到，運用十字相乘法把乙個二次項係數不是1的二次三項式因式分解，往往要經過多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式。
對於二次項係數是1的二次三項式，也可以用十字相乘法分解因式，這時只需考慮如何把常數項分解因數。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
1 × 5
1×5+1×（-3）=2
所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。
例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析：這個多項式可以看作是關於x的二次三項式，把-8y2看作常數項，在分解二次項及常數項係數時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解後，經過觀察，選取合適的一組，即
1 2
5 × -4
1×（-4）+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。
指出：原式分解為兩個關於x，y的一次式。
例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。
分析：這個多項式是兩個因式之積與另乙個因數之差的形式，只有先化簡，進行多項式的乘法運算，把變形後的多項式再因式分解。
問：兩個乘積的式子有什麼特點，用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便？
答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變為2（x-y），它是第乙個因式的二倍，然後把（x-y）看作乙個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關於（x-y）的二次三項式，就可以用址字相乘法分解因式了。
解 （x-y）（2x-2y-3）-2
=（x-y）［2（x-y）-3］-21 -2
=2（x-y）2-3（x-y）-22 × +1
=［（x-y）-2］［2（x-y）+11×1+2×（-2）=-3
=（x-y-2）（2x-2y+1）。
指出：把（x-y）看作乙個整體進行因式分解，這又是運用了數學中的「整體」思想方法。
三、課堂練習
1．用十字相乘法因式分解：
（1）2x2-5x-122）3x2-5x-23）6x2-13x+5；
（4）7x2-19x-65）12x2-13x+36）4x2+24x+27。
2．把下列各式因式分解：
（1）6x2-13x+6y22）8x2y2+6xy-35；
（3）18x2-21xy+5y24）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。
答案：1．（1）（x-4）（2x+32）（x-2）（3x+1）；
（3）（2x-1）（3x-54）（x-3）（7x+2）；
5）（3x-1）（4x-36）（2x+3）（2x+9）。
2．（1）（2x-3y）（3x-2y2）（2xy+5）（4xy-7）；
（3）（3x-y）（6x-5y4）（3a-b）（5b-a）。
四、小結
1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式分解因式時，應注意以下問題：
（1）正確的十字相乘必須滿足以下條件：
a1 c1
在式子中，豎向的兩個數必須滿足關係a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜
a2 c2
向的兩個數必須滿足關係a1c2+a2c1=b，分解思路為「看兩端，湊中間。」
（2）由十字相乘的圖中的四個數寫出分解後的兩個一次因式時，圖的上一行兩個數中，a1是第乙個因式中的一次項係數，c1是常數項；在下一行的兩個數中，a2是第二個因式中的一次項的係數，c2是常數項。
（3）二次項係數a一般都把它看作是正數（如果是負數，則應提出負號，利用恒等變形把它轉化為正數），只需把經分解在兩個正的因數。
2．形如x2+px+q的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代換的方法轉化為二次三項式ax2+bx+c的多項式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。
五、作業
1．用十字相乘法分解因式：
（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；
（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2；
（8）8m2-22mn+15n2。
2．把下列各式分解因式：
（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-353）5x2-8x-13；
（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-26）6y2+19y+10；
（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。
答案：1．（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）；
（5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）； （8）（2m-3n）（4m-5n）。
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