初中平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當也會帶來麻煩，特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性質證明線段相等
全等三角形是初中幾何的重要內容，它是證明線段相等、角相等的重要依據。這種方法最為普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。
（描（找線段）----看△----觀全等（無全等時要構造）---找條件）
［例1］利用角平分線，構造全等三角形證明線段相等。角是軸對稱圖形，並且角平分線上的點到角兩邊的距離相等，利用角的對稱性和角平分線的性質，來構造全等三角形從而得到線段相等是解題的乙個重要方法。
例題：如圖，∠aob＝90°,將三角尺的直角頂點落在∠aob的
平分線上的任意一點p，使三角尺的兩條直角邊aob的兩邊分別
相交於點e、f，試證pe＝pf
圖1圖2
分析：如圖1，因為oc是角平分線，所以本題可以過p點作pm⊥oa於m，pn⊥ob於n，不難發現只要證明△pme≌△pnf，即可得到pe＝pf，根據∠pme＝∠pnf＝90°、pm＝pn(角平分線性質)、∠mpe＝∠npf這三個條件，利用asa可以證明△pme≌△pnf。
如圖2,因為op是角平分線，則∠aop＝∠bop，所以本題還可以在of上擷取og，使og＝oe，利用sas可以證明△poe≌△pog，所以pe＝pg，只要再證明△pgf是等腰△就可以得到pe＝pf。
［例2］如圖，c是線段ab上一點，△acd和△bce是等邊三角形。求證：ae=bd。
證明 ∵△acb和△bce都是等邊三角形
∴∠acd=60°，∠bce=60°，∠dce=60°
∴∠ace=∠acd＋∠dce=120°
∠bcd=∠bce＋∠dce=120°
∴ac=cd，ce=cb
∴△ace≌△dcb（sas）
∴ae=db
［例3］如圖，已知△abc中，ab=ac，點e在ab上，點f在ac的延長線上，且be=cf，ef與bc交於d，求證：ed=df。
證明：過點e作eg//af交bc於點g
∴∠egb=∠acb，∠egd=∠fcd
∵ab=ac
∴∠b=∠acb，∠b=∠fgb，be=ge
∵be=cf，∴ge=cf
在△egd和△fcd中，
∠egd=∠fcd，∠edg=∠fdc，ge=cf
∴△egd≌△fcd（aas） ∴ed=fd
構造全等三角形，技巧性強，難度大，在實際問題中，如何迅速地找到解題思路呢？具體問題具體分析，每個題目都有自己的最有特色的最具關鍵性的條件，解決問題要抓住關鍵，根據題目中的具體條件，從諸多的條件中找到一些關鍵性條件，構造出全等三角形，利用這個關鍵性條件構造全等三角形，常可達到事半功倍的效果。
二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。
［例1］如圖，已知在△abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上的一點，且be=ac，延長be交ac於f。
求證：af=ef
證明：延長ad到g，使dg=ad，鏈結bg。
∵ad=gd，∠adc=∠gdb，cd=bd
∴△adc≌△gdb
∴ac=gb，∠fae=∠bge
∵be=ac
∴be=bg，∠bge=∠beg
∴∠fae=∠bge=∠beg=∠aef
∴ae=ef
［例2］如圖，已知△abc中，ab=ac，df⊥bc於f，df與ac交於e，與ba的延長線交於d，求證：ad=ae。
證明：∵df⊥bc
∴∠dfb=∠efc=90°，∠d=90°－∠b，∠cef=90°－∠c
∵ab=ac，∴∠b=∠c
∴∠d=∠cef
∵∠cef=∠aed
∴∠d=∠aed
∴ad=ae
三、利用平行四邊形的性質證明線段相等
如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用
一、二方法不易，可以考慮此法。
［例1］如圖，△abc中，∠c=90°，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe和正△acd，de與ab交於f，
求證：ef=fd。
證明：過d作do⊥ac交ab於點o
∵od垂直平分ac，∠acb=90°
∴bc⊥ac
∴o點必為ab的中點，鏈結eo，則eo⊥ab
∵∠cab=30°，∠bae=∠cad=60°
∴ad⊥ab，ae⊥ac
∴oe//ad，ae//od
∴四邊形odae為平行四邊形
∴ef=fd
［例2］如圖，ad是△abc的中線，過dc上任意一點f作eg//ab，與ac和ad的延長線分別交於g和e，fh//ac，交ab於點h。
求證：hg=be。
證明：延長ad到a」，使da」=ad
又∵bd=cd
∴四邊形baca」是平行四邊形
∴ba=a」c
由題設可知hfga也是平行四邊形
∴hf=ag
∵hf//ac，∴
又∵，hf=ag，ba=a」c
∴bh=eg
∴四邊形begh是平行四邊形
∴hg=be
四、利用中位線證明線段相等
如果已知中含有中點或等邊等，用以上方法比較難，可以考慮此法。
［例1］如圖，以△abc的邊ab、ac為斜邊向外作直角三角形abd和ace，且使∠abd=∠ace，m是bc的中點。
證明：dm=em。
證明：延長bd至f，使df=bd。
延長ce到g，使eg=ce，鏈結af、fc，鏈結ag、bg
∵bd=fd，∠adb=∠adf=90°，ad=ad
∴rt△abd≌rt△afd
∴∠bad=∠fad
同理可得：∠cae=∠gae
∵∠abd=∠ace
∴∠fab=∠gac，故∠fac=∠gab
在△abg和△afc中，
ab=af，∠gab=∠caf，ag=ac
∴△abg≌△afc
∴bg=fc
又∵df=db，ec=eg，m是bc的中點
∴dm==em，即dm=em
［例2］如圖，△abc中，∠c為直角，∠a=30°，分別以ab、ac為邊在△abc的外側作正△abe與正△acd，de與ab交於f
求證：ef=fd
證明：過d作dg//ab交ea的延長線於g，可得∠dag=30°
∵∠bad=30°＋60°=90°
∴∠adg=90°
∵∠dag=30°=∠cab，ad=ac
∴rt△agd≌rt△abc
∴ag=ab，∴ag=ae
∵dg//ab
∴ef//fd
五、利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」證明線段相等。
如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形，並且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。
［例］如圖，正方形abcd中，e、f分別為ab、bc的中點，ec和df相交於g，連線ag，求證：ag=ad。
證明：作da、ce的延長線交於h
∵abcd是正方形，e是ab的中點
∴ae=be，∠aeh=∠bec
∠bec=∠eah=90°
∴△aeh≌△bec（asa）
∴ah=bc，ad=ah
又∵f是bc的中點
∴rt△dfc≌rt△ceb
∴∠dfc=∠ceb
∴∠gcf＋∠gfc=∠ecb＋∠ceb=90°
∴∠cgf=90°
∴∠dgh=∠cgf=90°
∴△dgh是rt△
∵ad=ah
∴ag==ad
證明線段相等的技巧
證明兩線段相等一般證題途徑：
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。
12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等於同一線段的兩條線段相等。
要證明兩條線段相等，一般的思路是從結論入手，結合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：
（1）要證明的兩條線段分別在兩個三角形中；
（2）要證明的兩條線段在同乙個三角形中；
（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。
一、如果要證明的兩條線段分別在兩個三角形中
一般的思路是利用兩條線段所在的兩個三角形全等。
例1 已知：如圖1，b、c、e三點在一條直線上，△abc和△dce均為等邊三角形，鏈結ae、db，求證：ae=db。
分析：從結論入手，要證明線段ae=db，即看ae和db分別是△ace和△bcd的一邊，因此，欲證ae=db，只須證△ace△bcd即可，而在這兩個三角形中，ac=bc，ec=dc，欲證△ace△bcd，只須證∠ace=∠dcb，又因為∠dce=∠ace=，於是，∠dce+∠acd=∠acb+∠acd，即∠ace=∠dcb，故結論可證，證明略。
（方法：描看圖形觀全等，若無全等自創造。條件已知明暗中）
二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中
一般的思路是利用等角對等邊。
例2 已知：如圖2，△abc中ab=ac，d為bc上一點，過d作df⊥bc交ac於e，交ba的延長線於f，求證：ae=af。
分析：證明同一三角形中兩條邊相等，一般不採用全等三角形，而且把兩邊所對的角遷移到相應三角形中找出相等關係。
證明：法一：因為df⊥bc於d，
所以∠f+∠b=，∠c+∠dce=，又因為，所以∠b=∠c，所以∠f=∠dce=∠aef，所以ae=af。
法二：考慮到ab=ac，即△abc是以bc為底的等腰三角形的特殊性（三線合一），過頂點a作ag⊥bc於g，於是∠bag=∠cag，又因為df⊥bc，所以ag∥df，
所以∠aef=∠cag，∠bag=∠f，
所以∠aef=∠f，所以ae=af。
法三：考慮到要證的結論ae=af，即要證△aef是等腰三角形，也由等腰三角形的特殊性質（三線合一）作輔助線，過頂點a作ah⊥df於h，於是，ah∥bc，所以有∠eah=∠c，∠fah=∠b，又有∠b=∠c，於是∠eah=∠fah，即ah是高又是角平分線，故ae=af。
平面幾何中線段相等的幾種證明方法
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