題目： 假定系統中有m個同類資源，並被p個程序所共享，程序每次只申請或釋放乙個資源。如果：
a) 每個程序至少需要乙個資源，且最多不超過m個資源；
b) 所有程序的需求總和少於m+p。
該系統會不會發生死鎖。
證明1(反證法)：
設每個程序的最大資源需求數為ri(i=1，2， ．．．p)。
由題意：p個程序共享m個資源；每個程序的最大資源需求數小於m；所有程序的最大資源需求數之和小於m+p，則有：
1 ≤ ri < m ①
< p＋m ②
設系統在k(2≤k≤p)個程序（不妨設為p1，p2， ．．．pk）之間發生死鎖。
由死鎖的定義，所有死鎖程序的最大資源需求數為：
≥ m＋k ③
又由①式，所有非死鎖程序的最大資源需求數為：
≥ p－k ④
由③和④式，有：
＝＋≥（m＋k）＋（p－k）＝p＋m
即：≥ p＋m，與②式矛盾。證畢。
求證：若某個程序的最大資源需求數ri＝0，則系統會死鎖。
證明：設p=4；m=4；
r1=r2=2；r3=3；r4=0。則有：
ri < m = 4 ；
=7 < p＋m=8
滿足題意要求。假定資源的分配以下列次序進行：
時刻t1：r1、r2各占有1個資源；r3占有2個資源；
時刻t2：r1、r2、r3依此各申請1個資源，因無法滿足而等待。
即有3個程序發生了死鎖，其資源分配圖如下所示。
證明2(反證法)：
設每個程序每次可申請多個資源，且最大資源需求數為
ri(i=1，2， ．．．p)。
由題意：p個程序共享m個資源；每個程序的最大資源需求數小於m；所有程序的最大資源需求數隻和小於m+p，有：
1 ≤ ri < m ①
< p＋m ②
設系統在k(2≤k≤p)個程序（不妨設為p1，p2， ．．．pk）之間發生死鎖，且系統仍有q(q≥ 0)個資源，但不能滿足死鎖程序的的申請要求。
由死鎖的定義，所有死鎖程序的最大資源需求數為：
≥ m－q＋k(q＋1) ③
又由①式，所有非死鎖程序的最大資源需求數為：
≥ p－k ④
由③和④式，有：
＝＋≥(m－q＋k(q＋1))＋（p－k）
＝(m－q＋kq＋k) ＋（p－k）
＝p＋m＋q(k－1)
由假設：q≥ 0且k≥2，所以：
≥ p＋m，與②式矛盾。 證畢。
證明3(順證法)：
設每個程序的最大資源需求數為ri(i=1，2， ．．．p)。
由題意：p個程序共享m個資源；每個程序的最大資源需求數小於m；所有程序的最大資源需求數之和小於m+p，有：
1 ≤ ri < m ①
< p＋m
由②式有：
＝（）－p < (p＋m)－p＝m
即： < m ③
③式表明：系統至少有乙個資源，使得某個程序（不妨設為p1）能完成，然後釋放其占用的資源。此後：
由①式有r1－1≥0；又由③式，有：
＝－(r1－1) ≤ < m
即： < m ④
④式表明：系統至少有乙個資源，使得某個程序（不妨設為p2）能完成（然後釋放其占用的資源）。
依此推理，則可證明系統中的所有程序均能完成，故不會發生死鎖。
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