一、角的概念和弧度制:
(1)在直角座標系內討論角:
角的頂點在原點,始邊在軸的正半軸上,角的終邊在第幾象限,就說過角是第幾象限的角。若角的終邊在座標軸上,就說這個角不屬於任何象限,它叫象限界角。
(2)①與角終邊相同的角的集合:
與角終邊在同一條直線上的角的集合
與角終邊關於軸對稱的角的集合
與角終邊關於軸對稱的角的集合
與角終邊關於軸對稱的角的集合
②一些特殊角集合的表示:
終邊在座標軸上角的集合
終邊在一、三象限的平分線上角的集合
終邊在二、四象限的平分線上角的集合
終邊在四個象限的平分線上角的集合
(3)區間角的表示:
①象限角:第一象限角第三象限角
第一、三象限角
②寫出圖中所表示的區間角:
(4)正確理解角:
要正確理解「間的角
「第一象限的角銳角
「小於的角
(5)由的終邊所在的象限,通過來判斷所在的象限。
來判斷所在的象限
(6)弧度制:正角的弧度數為正數,負角的弧度數為負數,零角的弧度數為零;任一
已知角的弧度數的絕對值,其中為以角作為圓心角時所對圓弧的長,為圓的半徑。注意鐘錶指標所轉過的角是負角。
(7)弧長公式半徑公式
扇形面積公式
二、任意角的三角函式:
(1)任意角的三角函式定義:
以角的頂點為座標原點,始邊為軸正半軸建立直角座標系,在角的終邊上任取乙個異於原點的點,點到原點的距離記為,則
如:角的終邊上一點,則注意r>0
(2)在圖中畫出角的正弦線、余弦線、正切線;
比較,,,的大小關係
(3)特殊角的三角函式值:
三、同角三角函式的關係與誘導公式:
(1)同角三角函式的關係
作用:已知某角的乙個三角函式值,求它的其餘各三角函式值。
(2)誘導公式:
誘導公式可用概括為:
2k±,-,±,±,±的三角函式奇變偶不變,符號看象限的三角函式
作用:「去負——脫周——化銳」,是對三角函式式進行角變換的基本思路.即利用三角函式的奇偶性將負角的三角函式變為正角的三角函式——去負;利用三角函式的週期性將任意角的三角函式化為角度在區間[0o,360o)或[0o,180o)內的三角函式——脫周;利用誘導公式將上述三角函式化為銳角三角函式——化銳.
(3)同角三角函式的關係與誘導公式的運用:
①已知某角的乙個三角函式值,求它的其餘各三角函式值。
注意:用平方關係,有兩個結果,一般可通過已知角所在的象限加以取捨,或分象限加以討論。
②求任意角的三角函式值。
步驟:③已知三角函式值求角:注意:所得的解不是唯一的,而是有無數多個.
步驟: ①確定角所在的象限;
②如函式值為正,先求出對應的銳角;如函式值為負,先求出與其絕對值對
應的銳角;
③根據角所在的象限,得出間的角——如果適合已知條件的角在第二限;則它是;如果在第三或第四象限,則它是或;
④如果要求適合條件的所有角,再利用終邊相同的角的表示式寫出適合條件的所有角的集合。
如,則注意:巧用勾股數求三角函式值可提高解題速度:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);
四、三角函式影象和性質
1.週期函式定義
定義對於函式,如果存在乙個不為零的常數,使得當取定義域內的每乙個值時,都成立,那麼就把函式叫做週期函式,不為零的常數叫做這個函式的週期.
請你判斷下列函式的週期
y=tan xy=tan |xy=|tan x|
例求函式f(x)=3sin (的週期。並求最小的正整數k,使他的週期不大於1
注意理解函式週期這個概念,要注意不是所有的週期函式都有最小正週期,如常函式f(x)=c(c為常數)是週期函式,其週期是異於零的實數,但沒有最小正週期.
結論:如函式對於,那麼函式f(x)的週期t=2k; 如函式對於,那麼函式f(x)的對稱軸是
2.影象
3、影象的平移
對函式y=asin(ωx+ )+k (a>0, ω>0, ≠0, k≠0),其圖象的基本變換有:
(1)振幅變換(縱向伸縮變換):是由a的變化引起的.a>1,伸長;a<1,縮短.
(2)週期變換(橫向伸縮變換):是由ω的變化引起的.ω>1,縮短;ω<1,伸長.
(3)相位變換(橫向平移變換):是由φ的變化引起的. >0,左移; <0,右移.
(4)上下平移(縱向平移變換): 是由k的變化引起的.k>0, 上移;k<0,下移
四、三角函式公式:
三倍角公式:;;
五、三角恒等變換:
三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換,提高三角變換能力,要學會創設條件,靈活運用三角公式,掌握運算,化簡的方法和技能.常用的數學思想方法技巧如下:
(1)角的變換:在三角化簡,求值,證明中,表示式中往往出現較多的相異角,可根據角與角之間的和差,倍半,互補,互餘的關係,運用角的變換,溝通條件與結論中角的差異,使問題獲解,對角的變形如:
①是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍。
②;問③;④;
⑤;等等
(2)函式名稱變換:三角變形中,常常需要變函式名稱為同名函式。如在三角函式中正余弦是基礎,通常化切、割為弦,變異名為同名。
(3)常數代換:在三角函式運算,求值,證明中,有時需要將常數轉化為三角函式值,例如常數「1」的代換變形有:
(4)冪的變換:降冪是三角變換時常用方法,對次數較高的三角函式式,一般採用降冪處理的方法。常用降冪公式有降冪並非絕對,有時需要公升冪,如對無理式常用公升冪化為有理式,常用公升冪公式有
(5)公式變形:三角公式是變換的依據,應熟練掌握三角公式的順用,逆用及變形應用。
如:;;
;;;;
三角函式三角恒等變換知識點總結
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