銳角三角函式：
知識點一：銳角三角函式的定義：
一、 銳角三角函式定義：
在rt△abc中，∠c=900, ∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c，
則∠a的正弦可表示為：sina
∠a的余弦可表示為cosa
∠a的正切：tana它們弦稱為∠a的銳角三角函式
例1．如圖所示，在rt△abc中，∠c＝90°．
第1題圖
例2. 銳角三角函式求值：
在rt△abc中，∠c＝90°，若a＝9，b＝12，則c＝______，
sina＝______，cosa＝______，tana＝______，
sinb＝______，cosb＝______，tanb＝______．
例3．已知：如圖，rt△tnm中，∠tmn＝90°，mr⊥tn於r點，tn＝4，mn＝3．
求：sin∠tmr、cos∠tmr、tan∠tmr．
典型例題：
型別一：直角三角形求值
1．已知rt△abc中，求ac、ab和cosb．
2．已知：如圖，⊙o的半徑oa＝16cm，oc⊥ab於c點，
求：ab及oc的長．
3．已知：⊙o中，oc⊥ab於c點，ab＝16cm，
(1)求⊙o的半徑oa的長及弦心距oc；
(2)求cos∠aoc及tan∠aoc．
4. 已知是銳角，，求，的值
對應訓練：
（西城北）3．在rt△abc中，∠ c＝90°，若bc＝1，ab=，則tana的值為
a． b． cd．2
(房山)5．在△abc中，∠c=90°，sina=，那麼tana的值等於（ ）.
abc. d.
型別二. 利用角度轉化求值：
1．已知：如圖，rt△abc中，∠c＝90°．d是ac邊上一點，de⊥ab於e點．
de∶ae＝1∶2．
求：sinb、cosb、tanb．
2． 如圖，直徑為10的⊙a經過點和點，與x軸的正半軸交於點d，b是y軸右側圓弧上一點，則cos∠obc的值為（ ）
abcd．
3.（孝感中考）如圖，角的頂點為o，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊oa上有一點p（3，4），則
4.（慶陽中考）如圖，菱形abcd的邊長為10cm，de⊥ab，，則這個菱形的面積= cm2．
5.（齊齊哈爾中考）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為，，則的值是（ ）
abcd．
6. 如圖4，沿摺疊矩形紙片，使點落在邊的點處．已知，，ab=8,則的值為 ( )
7. 如圖6，在等腰直角三角形中，，，為上一點，若，則的長為( )
a． b．
cd．8. 如圖6，在rt△abc中，∠c=90°，ac=8，∠a的平分線 ad=求 ∠b的度數及邊bc、ab的長.
圖6型別三. 化斜三角形為直角三角形
例1 （安徽）如圖，在△abc中，∠a=30°，∠b=45°，ac=2，求ab的長．
例2．已知：如圖，△abc中，ac＝12cm，ab＝16cm，
(1)求ab邊上的高cd；
(2)求△abc的面積s；
(3)求tanb．
例3．已知：如圖，在△abc中，∠bac＝120°，ab＝10，ac＝5．
求：sin∠abc的值．
對應訓練
1．（重慶）如圖，在rt△abc中，∠bac=90°，點d在bc邊上，且△abd是等邊三角形．若ab=2，求△abc的周長．（結果保留根號）
2．已知：如圖，△abc中，ab＝9，bc＝6，△abc的面積等於9，求sinb．
3. abc中，∠a=60°，ab=6 cm，ac=4 cm，則△abc的面積是
a.2 cm2b.4 cm2
c.6 cm2d.12 cm2
型別四：利用網格構造直角三角形
例1 （內江）如圖所示，△abc的頂點是正方形網格的格點，則sina的值為（ ）
a． b． c． d．
對應練習：
1．如圖，△abc的頂點都在方格紙的格點上，則sin a
2．如圖，a、b、c三點在正方形網路線的交點處，若將繞著點a逆時針旋轉得到，則的值為
a. bcd.
3．正方形網格中，如圖放置，則tan的值是（ ）
ab. c. d. 2
特殊角的三角函式值
當時，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而
例1．求下列各式的值．
（昌平）1）.計算：．
（朝陽）2）計算：.
（黃石中考）計算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°
(石景山)4．計算：．
(通縣)5．計算：；
例2．求適合下列條件的銳角α．
(12)
(34)
（5）已知α為銳角，且，求的值
（6）在中，若，都是銳角，求的度數.
例3. 三角函式的增減性
1．已知∠a為銳角，且sin a < ，那麼∠a的取值範圍是
a. 0°< a < 30° b. 30°< a ＜60° c. 60°< a < 90° d. 30°< a < 90°
2. 已知a為銳角，且，則 （ ）
a. 0°< a < 60° b. 30°< a < 60° c. 60°< a < 90° d. 30°< a < 90°
例4. 三角函式在幾何中的應用
1．已知：如圖，在菱形abcd中，de⊥ab於e，be＝16cm，
求此菱形的周長．
2．已知：如圖，rt△abc中，∠c＝90°，，作∠dac＝30°，ad交cb於d點，求：
(1)∠bad；
(2)sin∠bad、cos∠bad和tan∠bad．
3. 已知：如圖△abc中，d為bc中點，且∠bad＝90°，，求：sin∠cad、cos∠cad、tan∠cad．
4. 如圖，在rt△abc中，∠c=90°，，點d在bc邊上，dc= ac = 6，求tan ∠bad的值．
5.如圖，△abc中，∠a=30°，，．求ab的長.
解直角三角形：
1．在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關係如下(如圖所示)：
在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝b，bc＝a，ab＝c，
①三邊之間的等量關係
②兩銳角之間的關係
③邊與角之間的關係：
④直角三角形中成比例的線段(如圖所示)．
在rt△abc中，∠c＝90°，cd⊥ab於d．
cd2ac2
bc2ac·bc
型別一例1．在rt△abc中，∠c＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠a、∠b，b；
(2)已知：，，求∠a、∠b，c；
(3)已知：，，求a、b；
(4)已知：求a、c；
(5)已知：∠a＝60°，△abc的面積求a、b、c及∠b．
例2．已知：如圖，△abc中，∠a＝30°，∠b＝60°，ac＝10cm．求ab及bc的長．
例3．已知：如圖，rt△abc中，∠d＝90°，∠b＝45°，∠acd＝60°．bc＝10cm．求ad的長．
例4．已知：如圖，△abc中，∠a＝30°，∠b＝135°，ac＝10cm．求ab及bc的長．
型別二：解直角三角形的實際應用
仰角與俯角：
例1．（福州）如圖，從熱氣球c處測得地面a、b兩點的俯角分別是30°、45°，如果此時熱氣球c處的高度cd為100公尺，點a、d、b在同一直線上，則ab兩點的距離是（ ）
例2．已知：如圖，在兩面牆之間有乙個底端在a點的梯子，當它靠在一側牆上時，梯子的頂端在b點；當它靠在另一側牆上時，梯子的頂端在d點．已知∠bac＝60°，∠dae＝45°．點d到地面的垂直距離，求點b到地面的垂直距離bc．
例3（昌平）19.如圖，一風力發電裝置豎立在小山頂上，小山的高bd=30m．
從水平面上一點c測得風力發電裝置的頂端a的仰角∠dca=60°，
測得山頂b的仰角∠dcb=30°，求風力發電裝置的高ab的長．
例4 .如圖，小聰用一塊有乙個銳角為的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距公尺，小聰身高ab為1.7公尺，求這棵樹的高度.
例5．已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂a處測得河對岸點c的俯角為30°，測得岸邊點d的俯角為45°，又知河寬cd為50m．現需從山頂a到河對岸點c拉一條筆直的纜繩ac，求山的高度及纜繩ac的長(答案可帶根號)．
例5．（泰安）如圖，為測量某物體ab的高度，在d點測得a點的仰角為30°，朝物體ab方向前進20公尺，到達點c，再次測得點a的仰角為60°，則物體ab的高度為（ ）
例6．益陽）超速行駛是引發交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速．如圖，觀測點設在a處，離益陽大道的距離（ac）為30公尺．這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從b處行駛到c處所用的時間為8秒，∠bac=75°．
銳角三角函式知識點與典型例題
第28章 銳角三角函式 基本知識點與典型例題 1 銳角三角函式定義 2 特殊角的銳角三角函式值 3 解直角三角形 1 解直角三角形共有五個元素，即和解直角三角形至少需要 知道個條件，條件中至少要知道 2 解直角三角形 三邊之間的關係 兩銳角之間的關係 邊角之間的關係 sina cosbsinb co...
銳角三角函式知識點
1 如圖，在 abc中，c 90 銳角a的對邊與斜邊的比叫做 a的正弦，記為sina，即 銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做 a的余弦，記為cosa，即 銳角a的對邊與鄰邊的比叫做 a的正切，記為tana，即 銳角a的鄰邊與對邊的比叫做 a的餘切，記為cota，即2 銳角三角函式的概念 銳角a的正弦 余弦 ...
銳角三角函式知識點總結
1 勾股定理 直角三角形兩直角邊 的平方和等於斜邊的平方。2 如下圖，在rt abc中，c為直角，則 a的銳角三角函式為 a可換成 b 3 任意銳角的正弦值等於它的餘角的余弦值 任意銳角的余弦值等於它的餘角的正弦值。4 任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值 任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值。5 ...