第28章：銳角三角函式
【基本知識點與典型例題】
1、銳角三角函式定義
2、特殊角的銳角三角函式值
3、解直角三角形：
（1）解直角三角形共有五個元素，即和解直角三角形至少需要
知道個條件，條件中至少要知道
（2）解直角三角形：
①三邊之間的關係
②兩銳角之間的關係
③邊角之間的關係：sina= cosbsinb=cosatanatanb= 。
邊角之間的關係變形為：abc
4、解直角三角形的基本型別
例．（2011，安徽）如圖，某高速公路建設中需要確定隧道ab的長度．已知在離地面1500m高度c處的飛機上，測量人員測得正前方a、b兩點處的俯角分別為60°和45°．求隧道ab的長(≈1.73)．
5、任意銳角的正弦值等於它的餘角的余弦值；任意銳角的余弦值等於它的餘角的正弦值。
6、兩銳角的各三角函式之間的關係式：
（1） （2）tana ·tanb＝1 （3）sina=cosa·tana
7、求三角函式值的方法：
① 根據特殊角的三角函式值求值直接運用三角函式值求值
③ 借助邊的數量關係求值借助等角求值
⑤ 根據三角函式關係求值構造直角三角形求值
例：如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c，d在⊙o上，且ab＝5，bc＝3。
（1）求sin∠bac的值2）如果oe⊥ac，垂足為e，求oe的長；
（3）求tan∠adc的值。（結果保留根號）
圖3例：（2012，濟南）如圖3，o為原點，點a的座標為(3，0)，點b的座標為(0，4)，⊙d過a、b、o三點，點c為弧abo上的一點(不與o、a兩點重合)，則cosc的值是
abcd．
例：（2012，內江）如圖4所示，△abc的頂點是正方形網格的格點，則sina的值為（ ）
a． bcd．
8、正弦、余弦、正切的增減性：
當0°≤≤90°時，sin隨的增大而增大，
cos隨的增大而減小。
當0°＜＜90°時，tan隨的增大而增大。
例、（2011，廣東茂名）如圖，已知：，則下列各式成立的是
a．sina=cosab．sina>cosa
c．sina>tanad．sina9、三角形面積公式：（c為a,b邊的夾角）
例．（2011，臨沂）如圖，△abc中，cosb=,sinc=，ac=5 , 則△abc的面積是
a. b.12 c.14 d.21
10、解直角三角形的應用
（1）利用直角三角形或構造直角三角形解決實際問題。
（2）構造直角三角形後，一般尋找等量關係式，列方程，用方程方法求高度問題。
總結：利用解直角三角形求高度時，通常有銳角三角函式把與已知線段在通一條直線上的兩條未知線段表示出來，然後構建方程。
例：（2011，德州）某興趣小組用高為1.2公尺的儀器測量建築物cd的高度．如示意圖，由距
cd一定距離的a處用儀器觀察建築物頂部d的仰角為，在a和c之間選一點b，由b處用儀器觀察建築物頂部d的仰角為．測得a，b之間的距離為4公尺，，，試求建築物cd的高度．
例：（2011山東煙台）
綜合實踐課上，小明所在小組要測量護城河的寬度。如圖所示是護城河的一段，兩岸ab∥cd，河岸ab上有一排大樹，相鄰兩棵大樹之間的距離均為10公尺.小明先用測角儀在河岸cd的m處測得∠α=36°，然後沿河岸走50公尺到達n點，測得∠β=72°。
請你根據這些資料幫小明他們算出河寬fr（結果保留兩位有效數字）.
（參考資料：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.
81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.
31，tan72°≈3.08
11、應用舉例：
(1)仰角：視線在水平線上方的角； 俯角：視線在水平線下方的角。
(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即 。
坡度一般寫成的形式，如等。
把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那麼坡比 。
例：（2011湖北黃岡）．如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形，背水坡ab的坡比（指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．且ab=20 m．身高為1.7 m的小明站在大堤a點，測得高壓電線桿端點d的仰角為30°．已知地面cb寬30 m，求高壓電線桿cd的高度（結果保留三個有效數字， 1.
732）.
例：（2010杭州）如圖，颱風中心位於點p，並沿東北方向pq移動，已知颱風移
動的速度為30千公尺/時，受影響區域的半徑為200千公尺，b市位
於點p的北偏東75°方向上，距離點p 320千公尺處
(1) 說明本次颱風會影響b市； （2）求這次颱風影響b市的時間.
【課後作業】
1．（2011，臨沂）如圖，以o為圓心的圓與△aob的邊ab相切於點c，與ob相交於點d，且od=bd，已知sina=，ac=。
（1）求⊙o的半徑；
（2）求途中陰影部分的面積．
2、（2011棗莊）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△abc的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1）畫線段ad∥bc且使ad =bc，連線cd；
（2）線段ac的長為 ，cd的長為 ，ad的長為 ；
（3）△acd為三角形，四邊形abcd的面積為 ；
（4）若e為bc中點，則tan∠cae的值是 ．
3、（2011，聊城）．(8分)被譽為東昌三寶之首的鐵塔，始建於北宋時期，是我市現存的最古老的建築．鐵塔由塔身和塔座兩部分組成．為了測得鐵塔的高度，小瑩利用自製的測角儀，在c點測得塔頂e的仰角為45，在d點測得塔頂e的仰角為60．已知測角儀ac的高為1.6m，cd的長為6m，cd所在的水平線cg⊥ef於點g．求鐵塔ef的高(精確到0.1m)．
初三銳角三角函式知識點與典型例題
銳角三角函式 知識點一 銳角三角函式的定義 一 銳角三角函式定義 在rt abc中，c 900,a b c的對邊分別為a b c，則 a的正弦可表示為 sina a的余弦可表示為cosa a的正切 tana它們弦稱為 a的銳角三角函式 例1 如圖所示，在rt abc中，c 90 第1題圖 例2.銳角...
銳角三角函式知識點
1 如圖，在 abc中，c 90 銳角a的對邊與斜邊的比叫做 a的正弦，記為sina，即 銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做 a的余弦，記為cosa，即 銳角a的對邊與鄰邊的比叫做 a的正切，記為tana，即 銳角a的鄰邊與對邊的比叫做 a的餘切，記為cota，即2 銳角三角函式的概念 銳角a的正弦 余弦 ...
銳角三角函式知識點總結
1 勾股定理 直角三角形兩直角邊 的平方和等於斜邊的平方。2 如下圖，在rt abc中，c為直角，則 a的銳角三角函式為 a可換成 b 3 任意銳角的正弦值等於它的餘角的余弦值 任意銳角的余弦值等於它的餘角的正弦值。4 任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值 任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值。5 ...