集合與集合的表示方法

第1章集合

1.1 集合與集合的表示方法

1.1.1 集合的概念

一、概念與能力聚焦

1、集合的概念

集合是數學中最原始的不定義的概念，只能給出，描述性說明：某些指定的且不同的物件集在一起就成為乙個集合。組成集合的物件叫元素，集合通常用大寫字母、、、…來表示。

元素常用小寫字母、、、…來表示。

集合是乙個確定的整體，因此對集合也可以這樣描述：具有某種屬性的物件的全體組成的乙個集合。

例題1：考察下列每組物件能否組成乙個集合？

（1）2023年上海世博會上展出的所有展館；

（2）2023年遼寧高考數學試卷中所有的難題；

（3）清華大學2010級的新生；

（4）平面直角座標系中，第一象限內的一些點；

（5）的近似值的全體.

2、元素與集合的關係

元素與集合的關係有屬於和不屬於兩種：元素屬於集合，記作；元素不屬於集合，記作。

例題 2：已知，，則與之間是什麼關係？

3、集合中元素的特性

（1）確定性：設是乙個給定的集合，是某一具體物件，則或者是的元素，或者不是的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。例如,可知。

（2）互異性：「集合中的元素必須是互異的」，就是說「對於乙個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的」。如方程的解集記為，而不能記為。

（3）無序性：集合與其中元素的排列次序無關，如集合與集合是同乙個集合。

例題3：已知集合中含有兩個元素和，若，試求實數的值。

4、集合的分類

集合可根據它含有的元素個數的多少分為兩類：

有限集：含有有限個元素的集合。如「方程的解組成的集合」，由「組成的集合」，它們的元素個數是可數的，因此這兩個集合是有限集。

無限集：含有無限個元素的集合，如「到平面上兩個定點的距離相等的所有點」「所有的三角形」，組成上述集合的元素是不可數的，因此它們是無限集。

特別地，我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記作，如。

例題4：下列各組物件能否構成集合，若能構成集合，則指出它們是有限集、無限集。還是空集。

（1）中國的所有人口組成的集合；

（2）廣東省2023年應屆高中畢業生；

（3）數軸上到原點的距離小於1的點；

（4）方程的解構成的集合；

（5）你們班上成績較好的同學；

（6）小於1的正整數構成的集合。

5、特定的集合的表示

為了書寫方便，我們規定常見的數集用特定的的字母表示，下面是幾種常見的數集表示方法，請牢記。

（1）全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作.

（2）非負整數集內排除的集合，也稱正整數集，記作或.

（3）全體整數的集合通常簡稱為整數集.

（4）全體有理數的集合通常簡稱為有理數集，記作.

（5）全體實數的集合通常簡稱為實數集，記作.

例題5 ：給出下列關係：屬於；；；,其中正確的個數為

二、方法與技巧平台

6、元素分析法

解決集合問題，應對集合的概念有深刻理解，解題時能不能把集合問題轉化為相關的數學知識是解題的關鍵，而集合離不開元素，所以分析元素是解決集合問題的核心。元素分析法就是抓住元素進行分析，即元素是什麼？具備哪些性質？

是否滿足元素的三個特性？（即確定性、互異性、無序性）

例題6：（1）已知集合是由，，三個元素組成的，且，求的值。

（2）設集合，求實數的取值範圍。

三、創新與思維拓展

7、利用集合中元素的特性解決與方程有關的問題

集合與方程有密切聯絡，利用集合中元素的特性，即元素的互異性、無序性、確定性，再結合方程的解法，可以求出集合中引數的值。

例題7：已知集合

（1）若是空集，求的取值範圍；

（2）若中只有乙個元素，求的值，並把這個元素寫出來；

（3）若中至多只有乙個元素，求的取值範圍。

速效基礎演練

1、給出下列四組物件，其中能構成集合的個數為

（1）高一（2）班所有身高以上的同學（2）高一（2）班所有高個子同學（3）個英文本母（4）所有無理數

2、給出下面幾個關係式：其中正確關係式的個數是

3、已知集合的三個元素是的三邊長，那麼一定不是

銳角三角形直角三角形鈍角三角形等腰三角形

4、已知集合,則集合中元素個數是

5、所給下列關係式中正確的個數是

（1）（2）（3）（4）

6、已知集合中只含有兩個元素，求實數不能取的值。

7、以方程的根為元素的集合含有兩個元素，求實數的取值範圍？

8、已知集合是由三個元素組成的集合，且，求實數的值。

1.1.2集合的表示方法

一、概念與能力聚焦

1、集合的表示方法

（1）列舉法：就是把集合中元素一一枚舉出來的方法，置於大括號內。例如，由方程的所有解組成的集合，可以表示為。

（2）描述法：就是用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。描述法有兩種不同的表示形式。

形式一：將說明元素性質的一句話寫在大括號內，即文字描述法。

形式二：在大括號內，首先寫出集合元素的表現形式（稱之為代表元素）和它的範圍，再畫一條豎線（或乙個冒號，或乙個分號），然後寫上元素所滿足的條件（性質），即符號描述法，其基本形式如下：

具有性質，或具有性質，或；具有性質。

（3）圖示法（維恩圖）：為了便於直觀的認識集合，我們常常用平面上一條封閉曲線所圍成的圖形（如圓、矩形等）來表示乙個集合，這就是維恩圖。例如，集合，可用下列所示幾個圖形來表示。

例題1：用列舉法把下列集合表示出來

（1）；

（2）；

（3）方程組的解集；

（4）由所確定的實數集合。

例題2：用特徵性質描述法表示下列集合：

（1）方程的所有實數根組成的集合；

（2）由大於小於的所有整數組成的集合。

例題3：用圖示法表示下列集合

（1）；

（2）的正約數。

例題4：用列舉法表示下列集合

（1）是的約數；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）分別是的正整數約數。

二、方法與技巧平台

2、如何使用列舉法表示集合

用列舉法表示集合時，必須注意以下幾點：（1）元素與元素之間必須用「，」隔開；（2）集合中的元素必須是明確的；（3）不必考慮元素出現的先後次序；（4）集合中的元素不能重複；（5）集合中的元素可以表示任何事物；（6）一般說來，列舉法適用於有限集，但對於含有較多元素的有限集，如果構成該集合的元素具有明顯的規律，也可以用列舉法表示，但必須把元素間的規律顯示清楚後，才能用省略號表示，如.

用列舉法表示集合其優點是集合中的元素清晰可見，一目了然，但對於無限集合且元素的規律又不太明顯時，就顯得力不從心。

例題5：用描述法表示圖1-1-2-4中陰影部分（含邊界）的點的座標集合。

3、如何使用描述法表示集合

描述法分為文字描述和符號描述，使用文字描述的關鍵是用文字元號把元素所具有的屬性描述出來，如自然數；用符號描述表示集合時應注意：

（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什麼），是數、還是有序實數對（點）、還是集合、還是其他形式？

（2）元素具有怎樣的屬性，當題目中用了其它字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

用描述法表示集合時，需要多層次描述屬性時，可選用邏輯連線詞「且」與「或」等連線；若描述部分出現元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值範圍。

描述法突出了元素所具有的屬性，其中文字描述法通俗易懂；而符號描述法則簡潔概括，但有點抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。

例題6：用適當的方法表示下列集合：

（1）比大的數；

（2）方程的解集；

（3）二次函式影象上所有點組成的集合。

4、如何使用圖示法表示集合

用圖示法表示集合最大的特點是形象、直觀，它特別適用於解決與抽象的集合（即集合由哪些元素所組成、元素具有怎樣的屬性不明確）有關的問題，但這通常只是作為一種解題輔助工具，一般集合的表示方法最終結果不用圖示法。

例題7：用圖示法表示下列集合以及它們之間的關係：

四邊形平行四邊形梯形菱形正方形矩形。

三、創新與思維拓展

5、集合語言的理解與轉換

集合語言是現代數學的基本語言，也就是用集合的有關概念和符號來敘述問題的語言。將集合的三種語言之間進行相互轉化，將集合語言轉化為自然語言、幾何語言，有助於弄清集合是由哪些元素所構成的，有助於提高分析和解決問題的能力。

解決集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的。如何弄清呢？

關鍵在於把抽象問題具體化、形象化。也就是把用描述法表示的集合用列舉法來表示，或用圖示法來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合，或用數軸來表示集合；再如，當集合的元素為有序實數對時，可用平面直角座標系中的圖形表示相關的集合等。

例題8：下列命題

（1）方程的解集為；

（2）集合與的公共元素所組成的集合是；

（3）集合與集合沒有公共元素。

其中真命題的個數為

速效基礎演練

1、用列舉法表示集合為

2、集合另一種表示方法是

3、集合用描述法可表示為

4、用列舉法可以將集合表示為

5、用描述法表示集合。

6、,用列舉法表示集合。

7、集合另一種表示法是？

8、用描述法寫出平面直角座標系第四象限內所有點的座標的集合,並指出集合中的所有點是否屬於。

集合與集合的表示方法

集合與集合的表示方法

集合與集合的表示方法

集合與集合的表示方法練習

相關推薦