一、平面直角座標系
1、在平面內，有的兩條數軸，組成平面直角座標系
注意 1) 座標平面內的點與一一對應
2） 座標軸上的點不屬於任何象限。
2、不同位置點的座標的特徵：
1）座標軸上點的特徵：
x軸上點的縱座標為0，一般記為px軸可寫成直線y=0，
y軸上點的橫座標為0，一般記為qy軸可寫成x=0，
2）各象限內點的座標的特徵：
第一象限第二象限
第三象限第四象限
3 、點p（x，y）座標的幾何意義 ：1）點p（x，y）到x軸的距離是____；
2）點p（x，y）到y軸的距離是____；3）點p（x，y）到原點的距離是____;
4、關於座標軸、原點對稱的兩點座標的特徵
1）點p（a，b）關於x軸的對稱點p1
2）點p（a，b）關於y軸的對稱點p2
3）點p（a，b）關於原點的對稱點p3
5、同一數軸上兩點間距離，（1）x軸上兩點a（x1，0），b（x2，0）則ab=|x1-x2|；
（2）y軸上兩點c（0，y1），d（0，y2），則cd=|y1-y2|。
6、過p（a，b）平行於x軸的直線可寫成y=b，平行於y軸的直線可寫成x=a，第
一、三象限的兩軸角平分線y=x；第
二、四象限的夾角平分線y=-x。
二、函式的概念
1、常量在某問題的研究過程中，保持不變的量叫做常量。
變數在某問題的研究過程中，可以取不同數值的量叫做變數。
2、函式一般地，設在某一變化過程中有兩個變數x與y，如果對於x的每乙個值y都有唯一的值和它相對應，那麼說y是x的函式，x為自變數，y是因變數。
函式值如果變數y是自變數x的函式，即y=f（x），那麼當x在定義域內取每乙個確定的值，如x=a時，變數y都有惟一確定的值與它對應，這個對應值叫做自變數取確定值a時的函式值，通常用記號f（a）來表示
函式的影象對於乙個函式，如果把自變數x與函式y的每對對應值分別作為點的橫座標和縱座標，在直角座標平面內描出相應的點，這些點所組成的圖形，就是這個函式的影象。
3、函式常用表示方法：解析式，列表法，影象法
4、函式影象的畫法由函式解析式畫函式的影象，一般按下列步驟進行。
（1）列表：列表給出自變數與函式的一些對應值；
（2）描點：用表中的對應值作為座標，在直角座標平面內描出相應的點；
（3）連線：用光滑的曲線，按照自變數由小到大的順序，把所描的點連線起來。在描點時，描出的點越多，影象越精確，實際上，一般不可能把所有的點都描出來，只能用光滑的曲線連線描出的一些點，從面得到函式的近似影象。
注意：畫圖象應在自變數取值範圍內畫
5、自變數取值範圍：（1）整式時自變數取全體實數；（2）分式時分母不為零；（3）二次根式中被開方數是非負數；（4）a0，a-p中a≠0；（5）使實際問題有意義.
求自變數取值範圍時考慮應周密：例如y= + ＋x－2中x＞0且x≠2
幾個常見的函式
（一）．正比例函式
1、函式k≠0的常數）叫做正比例函式
2、正比例函式的影象：①正比例函式y=kx（k≠0的常數）的影象是經過座標原點和
（1，_____）的一條直線，也叫做直線y=kx
②根據兩點確定一條直線的規律，在畫正比例函式的影象時，除了取原點以處，只需另外再取乙個點就可以了，一般取符合解析式的整點（即橫座標和縱座標都是整數的點）描起來較方便。如畫函式的影象時，分別取點（0，0）和（2，-1），然後描點、連線即可。
3、正比例函式的性質
正比例函式y=kx（k≠0的常數）有如下的性質：
①當k＞0時，它的影象在第_________象限內，y隨x的增大而
②當k＜0時，它的影象在第_________象限內，y隨x的增大而
4、函式的性質應結合它的影象來理解
（二）一次函式
1、函式y常數0）叫做一次函式
當b=0時，一次函式y=kx+b就成為y=kx（k是常數 k≠0），這時y 是x的正比例函式，所以正比例函式是一次函式的特殊情況。
2、一次函式的影象
①一次函式的影象是經過點（0，_______）且平行於直線y=kx的一條直線，一次函式y=kx+b的影象也叫做直線y=kx+b。直線y=kx+b與y軸相交於點（0，b）
②兩條直線l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，如果k1=k2，b1≠b2，那麼l1∥ l2，反之也成立。
③由兩點確定一條直線可知，在畫一次函式的影象時，只要先描出直線上的兩點，再過這兩點畫一條直線就可以了，當b≠0時，一般取與座標軸相交的兩點（____，0）、（0，____）較好。
3、直線位置與常數的關係
①k決定直線的方向 k＞0直線的方向向上；k＜0直線的方向向下
②b決定直線與y軸交點的位置： b＞0 直線與y軸交點在x軸的_____；
b=0 直線過_____點；b＜0 直線與y軸交點在x軸的_____；
根據下列一次函式y=kx+b(k ≠ 0)的草圖回答出各圖中k、b的符號：
4、一次函式的性質：
與正比例函式的性質一樣，當k＞0，y隨x的增大而_____；當k＜0，y隨x的增大而_____。
5、一次函式與一元一次方程的關係
一次函式y=kx+b（k≠0），當y=0時，即對應一元一次方程y=kx+b（k≠0），也就是說一次函式y=kx+b（k≠0）的影象與x軸的交點的橫座標x的值就是方程y=kx+b（k≠0）的根。
6、求一次函式表示式：待定係數法
由已知條件，先設乙個式子中的未知係數，然後根據已知資料求出未知係數，從而法語出這個式子的方法叫待定係數法。
說明：求正比例函式、反比例函式、一次函式、二次函式等一般都採用待定係數法。
7、一次函式影象與座標軸交點： 直線y=kx+b（k≠0）與x軸交點（____，0），與y軸交點（0，____），與兩座標軸圍成的三角形的面積_______
（三）反比例函式
1、函式y= （k≠0的常數）叫做反比例函式，也可以說y與x成反比例，
函式中的x≠0。 ①與正比例函式一樣，確定了k值，就可以確定乙個反比例函式。
②反比例函式y= 還可表示成y=kx-1的形式。
2、反比例函式的性質 ①當k＞0時，它的影象的兩個分支分別在第______限內，在每個象限內，y隨x的增大而______。
②當k＜0時，它的影象的兩個分支分別在第______象限內，在每個象限內，y隨x的增大而______。
③影象的兩個分支都無限接近於x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交。
注意：用性質時，要注意「在每個象限內」這個條件。
3、k決定雙曲線的位置 ①k＞0 影象的兩個分支分別在第____ 象限內。
②k＜0 影象的兩個分支分別在第____ 象限內。
4、k的幾何意義過雙曲線y= （k≠0）上任意一點p引
x軸、y軸的垂線，垂足分別為b、a，
則矩形pboa的面積為pob的面積為______
（四）二次函式
1、 函式y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）叫做二次函式
2、二次函式的影象：二次函式的影象是一條拋物線，它是乙個軸對稱圖形，拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。
3、二次函式常用的兩種表達形式
①二次函式的解折式有兩種常用的表達形式：一般式、頂點式。
②兩根式中x1、x2是拋物線與x軸相交的兩個交點的橫座標，即方程ax2+bx+c=0的兩個實根。 ③二次函式解析式的兩種常用表達形式各有其優點，可以根據不同需要互相轉化，如一般式通過配方可化為頂點式。
4、二次函式的性質 ①a＞0時，拋物線的開口向_____，頂點是它的最_____點；a＜0時，拋物線的開口向_____，頂點是它的最_____點；a決定拋物線的開口_____和開口_____。越大，開口越_____。②拋物線的對稱軸是直線x=_____，頂點座標是
③ 如果拋物線用頂點式y= a（x－h）2+k表示時，那麼對稱軸是直線x=_____，頂點座標是
④當b=c=0時，二次函式為最簡單的二次函式y=ax2。當b、c不全為0時，二次函式y=ax2+bx+c的影象與y=ax2的影象的形狀相同，位置不同，可以通過適當的平移，使兩個圖形重合，如把二次函式y=(x－1)2－4的影象，向左平移乙個單位，向上平移四個單位，即與y=3x2的影象重合。
⑤畫二次函式的影象時，應先求出它的對稱軸和頂點座標，然後利用它的對稱性列表取點，如取與y軸的交點及基本對稱點，如果影象與x軸有兩個交點，取這兩個交點等，最後描點連線，就可畫出二次函式的影象。
5、拋物線中間由a、b、c決定：
①a決定拋物線的開口方向
a＞0 開口向___， a＜0 開口向___
②c決定拋物線與y軸交點的位置：
c＞0 影象與y軸交點在x軸的___方；
c=0 影象過___點； c＜0 影象與x軸交點在x軸的___方。
③a、b決定拋物線對稱軸的位置： （對稱軸：x= ）
a、b同號對稱軸在y軸___ 側； b=0 對稱軸是y軸；
a、b異號對稱軸在y軸___ 側。
④△=b2－4ac決定拋物線與x軸交點情況：
△＞0 拋物線與x軸有兩個不同交點；
△=0 拋物線與x軸有惟一公共點（相切）；
△＜0 拋物線與x軸有無公共點。
6、二次函式的最值
①二次函式y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）中，
如果a＞0，那麼當x= 時，函式y有最小值 ，記作y最小值＝ ；如果a＜0，那麼當x= 時，函式y有最大值 ，記作y最大值＝；
②所謂最值就是最大值或最小值，二次函式取最大值或最小值是與決定影象開口方向的a有關。
③二次函式的最值反映到影象上，就是最高點或最低點，也就是頂點的縱座標。
7、二次函式與一元二次方程的關係
二次函式y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0），當y＝0時，即對應一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），也就是說，二次函式y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）的影象與x軸的交點的橫座標x的值就是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根。
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