第十四章靜定結構的位移計算
第一節計算結構位移的目的
建築結構在施工和使用過程中常會發生變形，由於結構變形，其上各點或截面位置發生改變，這稱為結構的位移。如圖14—1a所示的剛架，在荷載作用下，結構產生變形如圖中虛線所示，使截面的形心a點沿某一方向移到a′點，線段a a′稱為a點的線位移，一般用符號△a表示。它也可用豎向線位移和水平線位移兩個位移分量來表示，如圖14—1b所示。
同時，此截面還轉動了乙個角度，稱為該截面的角位移，用φa表示。
使結構產生位移的原因除了荷載作用外，還有溫度改變使材料膨脹或收縮、結構構件的尺寸在製造過程中發生誤差、基礎的沉陷或結構支座產生移動等等因素，均會引起結構的位移。本章主要討論荷載作用、基礎沉陷或結構支座產生移動而引起結構的位移。
位移的計算是結構設計中經常會遇到的問題。計算位移的目的有兩個：
（1）確定結構的剛度。在結構設計中除了滿足強度要求外還要求結構有足夠的剛度，即在荷載作用下(或其他因素作用下)不致發生過大的位移。例如，吊車梁的最大撓度不得超過跨度的，樓板主梁的撓度則不許超過跨度的。
此外，在結構的製作、施工等過程中，也常須預先知道結構變形後的位置，以便作出一定的施工措施，因而也需要計算其位移。
（2）為計算超靜定結構打下基礎。因為超靜定結構的內力單由靜力平衡條件是不能全部確定的，還必須考慮變形條件，而建立變形條件時就需要計算結構的位移。
第二節變形體的虛功原理
一、功及廣義位移
如圖14—2所示，設物體上a點受到恒力p的作用時，從a點移到a』點，發生了△的線位移，則
w=p△cos14—1）
稱為力p在位移△過程中所做的功。功是標量，它的量綱為力乘以長度，其單位用n．m或 kn．m表示。
式中，θ為力p與位移△之間的夾角。
圖14—3a為一繞o點轉動的輪子。在輪子邊緣作用有力p。設力p的大小不變而方向改變，但始終沿著輪子的切線方向。
當輪緣上的一點a在力p的作用下轉到點a′，即輪子轉動了角度φ時，力p所做的功為
w=prφ
式中，pr為p點對o點的力矩，以m來表示，則有
w＝mφ
即力矩所做的功，為力矩的大小和其所轉過的角度的乘積。圖14—3b中，若在輪子上作用有p及p′兩個力，當輪子轉動了角度φ後，p及p′所做的功為：w＝prφ十p′rφ
若p= p′，則有
w＝2 prφ
2 pr即為p及p′所構成的力偶，用m′表示，則有
w＝m14—2）
即力偶所做的功為力偶矩的大小和其所轉過的角度的乘積。
圖14—3圖14—3
為了方便計算，可將式（14—1）和（14—2）統一寫成
w=p14—3)
式中，若p為集中力，則△就為線位移；若p為力偶，則△為角位移。p為廣義力，它可以是乙個集中力或集中力偶，還可以是一對力或一對力偶等等；稱△為廣義位移，它可以是線位移、角位移等等。
對於功的基本概念，需注意以下兩個問題：
1．功的正負號
功可以為正，也可以為負，還可以為零。當p與△方向相同時，為正；反之則為負。若p與△方向相互垂直時，功為零。
2．實功與虛功
實功是指外力或內力在自身引起的位移上所做的功；若外力(或內力)在其它原因引起的位移上做功，稱為虛功。例如圖14—4a所示簡支梁，在靜力荷載pl的作用下（所謂「靜力荷載」是指所加的荷載pl是從零緩慢逐漸的加到其最終值），結構發生了圖14—4a虛線的變形，達到平衡狀態。當pl由零緩慢逐漸的加到其最終值時，其作用點沿pl方向產生了位移△11，此時w11＝pl△11就為pl所作的實功，稱之為外力實功；若在此基礎上，又在梁上施加另外乙個靜力荷載p2，梁就會達到新的平衡狀態，如圖14—4b所示，pl的作用點沿pl方向又產生了位移△12（此時的pl不再是靜力荷載，而是乙個恒力）。
p2的作用點沿p2方向產生了位移△22，那麼，由於pl不是產生△12的原因，所以w12＝pl△12就為pl所作的虛功，稱之為外力虛功；而p2是產生△22的原因，所以w22＝p2△22就是外力實功。在這裡，功和位移的表達符號都出現了兩個腳標，第乙個腳標表示位移發生的位置，第二個腳標表示引起位移的原因。
3．實功原理
結構受到外力作用而發生變形，則外力在發生變形過程中作了功。如果結構處於彈性階段範圍，當外力去掉之後，該結構將能恢復到原來變形前的位置，這是由於彈性變形使結構積蓄了具有作功的能量，這種能量稱之為變形能。由此可見，結構之所以有這種變形，實際上是結構受到外力作功的結果，也就是功與能的轉化，則根據能量守恆定律可知，在載入過程中外力所作的實功w將全部轉化為結構的變形能，用u表示，即
w=u14—4）
從另乙個角度講，結構在荷載作用下產生內力和變形，那麼內力也將在其相應的變形上作功，而結構的變形能又可用內力所作的功來度量。所以，外力實功等於內力實功又等於變形能。這個功能原理，稱為彈性結構的實功原理
二、變形體的虛功原理
前面所講到的簡支梁，在力pl作用下會引起內力，那麼，內力在其本身引起的變形上所做的功，稱之為內力實功，用w11′表示。pl所作的功w11稱之為外力實功。力pl作用下引起的內力在其它原因(比如p2)引起的變形上所做的功，稱之為內力虛功，用w12′表示。
pl所做的功w12稱之為外力虛功。在該系統中外力pl和p2所做的總功為：
而pl和p2引起的內力所作的總功為
根據能量守恆定律，應有,即
根據實功原理，有
所以14—5）
在上述情況中，pl視為第一組力先加在結構上；p2視為第二組力後加在結構上，兩組力pl與p2是彼此獨立無關的。式（14—5）稱為虛功原理。其表明：
結構的第一組外力在第二組外力所引起的位移上所作的外力虛功，等於第一組內力在第二組內力所引起的變形上所作的內力虛功。
為了便於應用，現將圖14—4b中的平衡狀態分為圖14—5a和b，二者是等價的。圖14—5a的平衡狀態稱為第一狀態，圖14—5b的平衡狀態稱為第二狀態。此時虛功原理又可以描述為：
第一狀態上的外力和內力在第二狀態相應的位移和變形上所做的外力虛功和內力虛功相等。這樣第一狀態也可以稱為力狀態，第二狀態也可以稱為位移狀態。
虛功原理既適用於靜定結構，也適用於超靜定結構。
第三節結構位移計算的一般公式
結構的位移計算問題本身是個幾何問題，我們知道若按幾何關係和邊界條件求解，計算過程是很複雜的。
現在，我們將結合圖14—6所示結構討論如何運用虛功原理來解決這類問題。
應用虛功原理，也就是要確定兩個彼此獨立的狀態——力狀態和位移狀態。位移狀態是給定的，為圖14—6a中虛線所表示的位移；力狀態則可根據解決的實際問題來虛擬。考慮到下面兩方面因素，一方面，為了便於求出△；另一方面，為了便於計算。
因此在選擇虛擬力系時應只在擬求位移△的方向設定一單位荷載pk＝1，如圖14—6b所示。由於單位荷載的作用，在支座處將有由單位力引起的反力。這樣就構成了一組虛擬狀態的平衡力系——力狀態。
根據以上兩種狀態，計算虛擬力狀態的外力和內力在相應的實際位移狀態上所做的虛功。
外力虛功：
內力虛功：
以上二式中，，…為虛擬單位力引起的廣義支座反力；c1，c2，…為實際支座位移；，，為單位力pk＝1作用所引起的某微段上的內力；du，dφ，ds為實際狀態中微段相應的變形。
由虛功原理：，有
(14—6)
可以看出，外力虛功在數值上恰好等於所求位移，這便是平面桿件結構位移計算的一般公式。這種計算位移的方法稱為單位荷載法。
設定單位荷載時，應注意下面二個問題：
1．虛擬單位力p＝1必須與所求位移相對應。欲求結構上某一點沿某個方向的線位移，則應在該點所求位移方向加乙個單位力（圖14—7a）；欲求結構上某一截面的角位移，則在該截面處加一單位力偶（圖14—7b）；求桁架某杆的角位移時，在該杆兩端加一對與杆軸垂直的反向平行力使其構成乙個單位力偶，力偶中每個力都等於（圖14—7c）；求結構上某兩點c、d的相對位移時，在此二點連線上加一對方向相反的單位力(圖14—7d)；求結構上某兩個截面e、f的相對角位移時，在此二截面上加一對轉向相反的單位力偶(圖14—7e)；求桁架某兩桿的相對角位移時，在此二桿上加兩個轉向相反的單位力偶(圖14—7f)。
2．因為所求的位移方向是未知的，所以虛擬單位力的方向可以任意假定。若計算結果為正，表示實際位移的方向與虛擬力方向一致；反之，則其方向與虛擬力的方向相反。
這樣，虛功方程中單位荷載在擬求位移△所作虛功1×△，數值上就等於擬求位移△。
第四節靜定結構在荷載作用下的位移計算
一．積分法
若靜定結構的位移僅僅是由荷載作用引起的，則c＝0，因此式(14—6)可改寫為
（14—7）
式中：，，為虛設力狀態中微段上的內力；
，，，為實際狀態中微段ds上在荷載作用下產生的變形。通過第六章和第九章的學習已知：
將上式代入式(14—7)中得
（14—8）
這就是結構在荷載作用下的位移計算公式。式(14—8)右邊三項分別代表虛擬狀態下的內力（在實際狀態相應的變形上所作的虛功。
式中：，，——虛設力引起的內力；
，，——實際荷載引起的內力；
ei、ea、ga——分別是桿件的抗彎、抗拉（壓）、抗剪剛度；
k——剪下應力不均勻係數。其值與截面形狀有關，對於矩形截面k＝1.2；圓形截面；工字形截面，a為截面的總面積，a′為腹板截面面積。
在實際計算中，根據結構的具體情況，式(14—8)可簡化為如下公式：
對於梁和剛架，其位移主要是由彎矩引起的，其公式簡化為
14—9）
但在扁平拱中，除彎矩外，有時要考慮軸向變形對位移的影響。
對於桁架，因為只有軸力，且同一桿件的軸力，及ea沿杆長均為常數，故式（14—8）可簡化為
14—10）
例14-1 試求圖14—8a所示剛架a點的豎向位移。各桿材料相同，截面的i、a均為常數。
解：（1）在a點加一豎向單位荷載作為虛擬狀態（圖14—8b），並分別設各桿的x座標如圖所示，則各桿內力方程為
ab段bc段
第十四章結構體內容講解二
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