角平分線定理

角平分線的定義：從乙個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。

■ 三角形的角平分線定義：三角形頂點到其內角的角平分線交對邊的點連的一條線段，叫三角形的角平分線。

【注】三角形的角平分線不是角的平分線，是線段。角的平分線是射線。

■拓展：三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等！(即內心)。

■定理1：在角平分線上的任意一點到這個角的兩邊距離相等。

■逆定理：在乙個角的內部（包括頂點），且到這個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

■定理2：三角形乙個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例，

如：在△abc中，bd平分∠abc，則ad：dc=ab：bc

提供四種證明方法：

已知，如圖，am為△abc的角平分線，求證ab／ac=mb／mc

已知和證明1圖

證明：方法1：（面積法）

s△abm=(1/2)·ab·am·sin∠bam,

s△acm=(1/2)·ac·am·sin∠cam,

∴s△abm：s△acm=ab:ac

又△abm和△acm是等高三角形，面積的比等於底的比，

證明2圖

即三角形abm面積s：三角形acm面積s=bm:cm

∴ab／ac=mb／mc

方法2（相似形）

過c作cn‖ab交am的延長線於n

則△abm∽△ncm

∴ab/nc=bm/cm

又可證明∠can=∠anc

∴ac=cn

∴ab／ac=mb／mc

證明3圖

方法3（相似形）

過m作mn‖ab交ac於n

則△abc∽△nmc,

∴ab/ac=mn/nc,an/nc=bm/mc

又可證明∠cam=∠amn

∴an=mn

∴ab/ac=an/nc

∴ab／ac=mb／mc

方法4（正弦定理）

作三角形的外接圓，am交圓於d，

由正弦定理，得，

證明4圖

ab/sin∠bma=bm/sin∠bam,

∴ac/sin∠cma=cm/sin∠cam

又∠bam=∠cam，∠bma+∠amc=180°

sin∠bam=sin∠cam,sin∠bma=sin∠amc,

∴ab／ac=mb／mc

角平分線定理

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