一、考點突破
二、重難點提示
重點：用向量方法判斷有關直線和平面的平行和垂直關係問題。
難點：用向量語言證明立體幾何中有關平行和垂直關係的問題。
考點一：直線的方向向量與平面的法向量
1. 直線l上的向量a或與a共線的向量叫作直線l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向線段所在直線垂直於平面α，則稱這個向量垂直於平面α，記作a⊥α，此時向量a叫作平面α的法向量。
【核心歸納】
① 一條直線的方向向量有無數多個，乙個平面的法向量也有無數多個，且它們是共線的。
② 在空間中，給定乙個點a和乙個向量a，那麼以向量a為法向量且經過點a的平面是唯一確定的。
【隨堂練習】
已知a（1，1，0），b（1，0，1），c（0，1，1），則平面abc的乙個法向量的單位向量是（ ）
a. （1，1，1b.
cd.思路分析：設出法向量座標，列方程組求解。
答案：設平面abc的乙個法向量為n＝（x，y，z），＝（0，－1，1），＝（－1，1，0），＝（－1，0，1），則，∴x＝y＝z，
又∵單位向量的模為1，故只有b正確。
技巧點撥：一般情況下，使用待定係數法求平面的法向量，步驟如下：
（1）設出平面的法向量為n＝（x，y，z）。
（2）找出（求出）平面內的兩個不共線的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。
（3）根據法向量的定義建立關於x，y，z的方程組
（4）解方程組，取其中的乙個解，即得法向量。
考點二：用向量法證明空間中的平行關係、垂直關係
【核心突破】
① 用向量法解決立體幾何問題是空間向量的乙個具體應用，體現了向量的工具性，這種方法可把複雜的推理證明、輔助線的作法轉化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現了由「形」轉「數」的轉化思想。
② 用空間向量解決立體幾何問題的「三步曲」：
例題1 （浙江改編）如圖，在四面體a－bcd中，ad⊥平面bcd，bc⊥cd，
ad＝2，bd＝2，m是ad的中點，p是bm的中點，點q**段ac上，且aq＝3qc。證明：pq∥平面bcd。
思路分析：利用直線的方向向量和平面的法向量垂直證明線面平行。
答案：證明：如圖，取bd的中點o，以o為原點，od、op所在射線為y、z軸的正半軸，建立空間直角座標系o－xyz。
由題意知，a（0，，2），b（0，－，0），d（0，，0）。
設點c的座標為（x0，y0，0）。因為，所以q。
因為m為ad的中點，故m（0，，1），又p為bm的中點，故p，
所以＝。
又平面bcd的乙個法向量為a＝（0，0，1），故·a＝0。
又pq平面bcd，所以pq∥平面bcd。
技巧點撥：解決此類問題的依據是要根據線面平行的判定定理，可證直線的方向向量與平面內某一向量平行，也可證直線的方向向量與平面的法向量垂直。
例題2 如圖所示，正三稜柱（底面為正三角形的直三稜柱）abc—a1b1c1的所有稜長都為2，d為cc1的中點。求證：ab1⊥平面a1bd。
思路分析：證明線面垂直可以通過證明線與面的法向量平行來實現。
答案：證明：如圖所示，取bc的中點o，連線ao，因為△abc為正三角形，所以ao⊥bc。
∵在正三稜柱abc—a1b1c1中，平面abc⊥平面bcc1b1，∴ao⊥平面bcc1b1，
取b1c1的中點o1，以o為原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系，則b（1，0，0），d（－1，1，0），a1（0，2，），a（0，0，），b1（1，2，0）。
＝（－1，2，），＝（－2，1，0）。=（1，2，）
設平面a1bd的法向量為n＝（x，y，z），
因為n⊥，n⊥，故，
令x＝1，則y＝2，z＝－，故n＝（1，2，－）為平面a1bd的乙個法向量，
而＝（1，2，－），所以＝n，所以∥n，故ab1⊥平面a1bd。
技巧點撥：解決此類問題的依據是要根據線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面的法向量平行。
例題3 如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ab⊥bc，ab＝bc＝2，bb1＝1，e為bb1的中點，求證：平面aec1⊥平面aa1c1c。
思路分析：建系寫出座標，分別求出兩個平面的法向量，證明兩個平面垂直。
答案：證明：由題意得ab，bc，b1b兩兩垂直，以b為原點，分別以ba，bc，bb1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角座標系，
則a（2，0，0），a1（2，0，1），c（0，2，0），c1（0，2，1），e（0，0，），
則＝（0，0，1），＝（－2，2，0），＝（－2，2，1），＝（－2，0，）。
設平面aa1c1c的乙個法向量為n1＝（x，y，z），則
令x＝1，得y＝1，∴n1＝（1，1，0）。
設平面aec1的乙個法向量為n2＝（x0，y0，z0），則
令z0＝4，得x0＝1，y0＝－1。
∴n2＝（1，－1，4）。∵n1·n2＝1×1＋1×（－1）＋0×4＝0，
∴n1⊥n2.∴平面aec1⊥平面aa1c1c。
技巧點撥：利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑，一是利用兩個平面垂直的判定定理將麵麵垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得麵麵垂直。向量法證明面面垂直的優越性主要體現在不必考慮圖形的位置關係。
恰當建系或用基向量表示後，只須經過向量運算就可得到要證明的結果，思路方法「公式化」，降低了思維難度。
利用向量解決立體幾何中的探索性問題
【滿分訓練】在正方體abcd－a1b1c1d1中，e，f分別是稜ab，bc的中點，稜bb1上是否存在一點m，使得d1m⊥平面efb1。
思路分析：設出點m的座標，利用線面垂直列方程組求解。
答案：建立如圖所示的空間直角座標系d－xyz，設正方體的稜長為2，則e（2，1，0），f（1，2，0），d1（0，0，2），b1（2，2，2）。
設m（2，2，m），則＝（－1，1，0），＝（0，－1，－2），＝（2，2，m－2）。
∵d1m⊥平面efb1，
∴d1m⊥ef，d1m⊥b1e，
∴·＝0且·＝0，
於是，∴m＝1。
故取b1b的中點為m就能滿足d1m⊥平面efb1。
技巧點撥：對於「是否存在」型問題的探索方式有兩種：一種是根據條件做出判斷，再進一步論證。
另一種是利用空間向量，先設出假設存在的點的座標，再根據條件求該點的座標，即找到「存在點」，若該點座標不能求出，或有矛盾，則判定「不存在」。
（答題時間：40分鐘）
1. （東營高二檢測）已知平面α的法向量為a＝（1，2，－2），平面β的法向量為b＝（－2，－4，k），若α⊥β，則k＝（ ）
a. 4b. －4c. 5d. －5
2. （青島高二檢測）若＝λ＋μ，則直線ab與平面cde的位置關係是（ ）
a. 相交b. 平行c. 在平面內 d. 平行或在平面內
3. 已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且bp⊥平面abc，則實數x，y，z分別為（ ）
a.，－，4 b.，－，4 c.，－2，4 d. 4，，－15
4. （汕頭模擬）如圖，已知正方體abcd-a1b1c1d1的稜長為3，點e在aa1上，點f在cc1上，且ae＝fc1＝1。
（1）求證：e，b，f，d1四點共面；
（2）若點g在bc上，bg＝，點m在bb1上，gm⊥bf，垂足為h，求證：em⊥平面bcc1b1。
5. 下列命題中，正確的是填序號）
① 若n1，n2分別是平面α，β的乙個法向量，則n1∥n2α∥β；
② 若n1，n2分別是平面α，β的乙個法向量，則α⊥βn1·n2＝0；
③ 若n是平面α的乙個法向量，a與平面α共面，則n·a＝0；
④ 若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直。
6. 平面上有四個互異的點a，b，c，d，已知（＋－2）·（－）＝0，則△abc的形狀是三角形。
7. 如圖，直四稜柱abcd－a1b1c1d1中，底面abcd是矩形，ab＝2，ad＝1，aa1＝3，m是bc的中點。在dd1上是否存在一點n，使mn⊥dc1？並說明理由。
8. （衡水調研卷）如圖所示，在四稜柱abcd－中，⊥平面abcd，底面abcd是邊長為1的正方形，側稜＝2。
（1）證明：ac⊥；
（2）是否在稜a1a上存在一點p，使得＝λ，且面ab1c1⊥面pb1c1。
利用空間向量證明垂直關係
主講教師 巫宇霞 知識概述 設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面 的法向量分別為u，v，則 線線垂直 l ma ba b 0 線面垂直 l a u a ku 面面垂直 u vu v 0.學前診斷 1.難度 易 已知空間四邊形中，求證 2 難度 易 如圖，在四稜錐v abcd中，底面abcd是正方...
空間中的平行與垂直關係 基礎
知識 知識梳理 一 平行 1 平行公理 2 構造三角形 3 構造平行四邊形 4 線面平行性質 5 面面平行性質 6 線面平行判定 7 面面平行的性質 8 面面平行的判定1 9 面面平行的判定2 典型例題 例1 正方體中，分別是的中點，求證 變式 如圖，兩個全等的正方形abcd和abef所在的平面相交...
向量方法證平行和垂直
學習目標 熟練掌握向量方法證明點共線 點共面 線共面及線線 線面的平行與垂直問題 基礎回顧 知識點一 方向向量 若非零向量，則稱是直線的方向向量。方向向量的求法 若直線過點和，則向量即為直線的方向向量。知識點二 平面的法向量 如果，那麼向量叫做平面的法向量。注意 1 法向量一定是非零向量 2 乙個平...