例1．（圓與函式）如圖：座標平面內△abc的三個頂點座標分別為a（－1，0）、b（－7，0）、c（－4，9），過這三點的圓為⊙m，雙曲線過點m，則= 。
例2．（圓的綜合）如圖，a、b、c、d、e、f是⊙o的六等分點，點p是弧de的中點，鏈結ad、bf、ac、bp，ac、bp交於h.下列結論中：①gf=gb；②ac=bf；③；④.
其中正確的有（ ）
ａ. ①③ b. ②③④ c. ①②④ d. ①②③④
例3．（旋轉）如圖，點e、f分別在正方形abcd的邊cd、ad上，且ab=2ce=3af，過f作fg⊥be於p交bc於g，連線dp交bc於h，連bf、ef． 下列結論：①△pbf為等腰直角三角形；②h為bc的中點；③∠def=2∠pfe；④.
其中正確的結論( )
a.只有
b. 只有①②④．
c. 只有
d. ①②③④．
例4．（圓與函式）如圖，在平面直角座標系中，o為座標原點，p是反比例函式y＝（x＞0）圖象上的任意一點，以p為圓心，po為半徑的圓與x、y軸分別交於點a、b，則△aob的面積是
例5．（圓的綜合）如圖，ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab於點e，過點b作⊙o的切線，交ac的延長線於點f．已知3ae＝be＝6，則cf的長是( )
a. 12b. 16．
c. 12． d. 16．
例6：（一元二次方程）對於-元二次方程a+bx+c=o(a≠0)，下列說法：，
①當b=0時，方程a+bx+c=o一定有兩個互為相反數的實數根；
②當b≠0且c=0時，方程a+bx+c=o一定有兩個實數根且有一根為0；
③當a+b+c=0時，方程a+bx+c=o一定有兩個不相等的實數根；
④當a>0，c>0且a-b+c<0時，方程a+bx+c=o一定有兩個不相等的實數根．
其中正確的是( )
a.①②③ b.①②④ c.②③④ d.②④、
例7：（圓的綜合）如圖，bc是⊙o的直徑，半徑為r,a為半圓上一點，i為△abc的內心，延長ai交bc於d點，交⊙0於點e，過，作if⊥bc，鏈結ao，bi.下列結論：
①ab+ac=bc+2if;
②4∠aib-∠boa =360°；③eb=ei;④為定值，其中正確的結論有( )
a.①③④ b.①②③ c.①②③④ d.①②④
例8.（一元二次方程）下列命題：
①若b=2a+c,則一元二次方程a+bx+c=o必有一根為-2；
②若ac<0, 則方程 c+bx+a=o有兩個不等實數根；
③若-4ac=0, 則方程 c+bx+a=o有兩個相等實數根；
其中正確的個數是（ ）
個 個 c.2個 d。3 個
例9．（圓的綜合）如圖，△abc內接於⊙o，其外角平分線ad交⊙o於d,作dm⊥ac於m，下列結論：
①db=dc；②ac-ab=2am；③ac+ab=2cm；④ =2其中正確的有( )
a．只有②④
b．只有①②③
c．只有③④
d．①②③④
例10：（旋轉）如圖，一塊等邊三角形木板abc，邊長為2，現將木板沿水平線
翻滾一次，則bc邊上的高在翻滾過程中所掃過的面積為（ ）
a．π b． c． d．
例11．（一元二次方程）已知：關於的一元二次方程，．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為，（其中）．若是關於的函式，且，求這個函式的解析式；
（3）在（2）的條件下，結合函式的圖象回答：當自變數的取值範圍滿足什麼條件時，．
例12．（圓）如圖，半徑為4的⊙o中直徑ab垂直弦cd於e,過c作⊙o的切線cp交ab的延長線於p，鏈結db並延長交cp於f,鏈結ac,ad,pd,of．
（1）求證：pd是⊙o的切線;
（2）若e為半徑 ob的中點，求線段of的長度.
例13．（圓）如圖1，⊙o中ab是直徑，c是⊙o上一點，∠abc=45°，等腰直角三角形dce中∠dce是直角，點d**段ac上， m是線段be的中點，n是線段ad的中點．
（1）鏈結bd , ae, 求證：△bcd≌△ace；
（2）猜想圖1中的mn與om的數量關係（直接寫出結果）；
（3）將△dce繞點c逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）（備用圖2）後，其他條件不變，（2）中的結論仍然成立嗎？若是，畫出圖形並證明；若不是，說明理由．
例14．（圓的綜合）如圖1，在平面直角座標系中，半徑為4的⊙o交座標軸於a、b、c、d，點p為bc上乙個動點(不與b、c點重合).連ap、bc交於點g,連fg交ob 於點e.
（1）請運用圓的定義證明c、f、p、g在同乙個圓上；
（2）當p為bc的中點時，求點g的座標；
（3）如圖2，鏈結pd ，設△pab的內切圓半徑為r，求證：；
例15．（圓與相似）如圖：ab是⊙o直徑，ac交⊙o於g，e是ag上一點，⊙o上點d為△bce內心，be交ad於f，且∠dbe=∠bad．
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）求證：df=dg；
（3）若∠adg=45°，df=1，求ad-bd的值。
例16．（圓）如圖，在中，∠c=90°，以ac為直徑作⊙o，交ab於d，過點o作oe∥ab，交bc於e.
（1）求證：ed為⊙o的切線；
（2）設eo的延長線交⊙o於f，鏈結df、af，若⊙o的半徑為，ed=4，求△adf的面積．
例17．（圓）如圖，pa為⊙o的切線，a為切點.過a作op的垂線ab，垂足為點c，交⊙o於點b.延長bo與⊙o交於點d，與pa的延長線交於點e.
（1）求證：pb為⊙o的切線；
（2）若，求的值.
例18．（圓）如圖，點o在∠apb的平分線上，⊙o與pa相切於點c．
（1）求證：直線pb與⊙o相切；
（2）po的延長線與⊙o交於點e．若⊙o的半徑為3，pc=4．求弦ce的長．
例19．（旋轉）己知正方形中，e為射線ab上一點，ab=nae，df⊥de交bc的延長線於點f，直線ac與ef交於點g，連線dg。
（1）如圖①，當n=2時，填空並證明相應的結論：
dg與ef的位置關係是
（2）如圖②，點e在ab的延長線上，當n= 時，ag=3cg（不需要證明）
例20．（圓的綜合）如圖1，直線pq：交x軸於b，交 y軸於q，與pq相切於點b的⊙e的圓心e在y 軸上，且交y軸於a、c，且c（0，－4），交x 軸於另一點f。
（1）求⊙e的半徑；
（2）求證：bc平分∠pbo；
（3）如圖2,過b、c兩點作⊙g交線段ob於s（不與o、b重合），交直線pq於t，問：bt+bs的值是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，試說明理由.
例21：（圓）如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，∠bac的平分線ad交⊙o於點d，de⊥ac，交ac的延長線於點e，oe交ad於點f．
⑴求證：de是⊙o的切線；
⑵若，且,求⊙o的半徑.
例22：（圓與四邊形）已知等腰rt△abc，ac=bc=2，d為射線cb上一動點，經過點a的⊙o與bc相切於點d，交直線ac於點e。
（1）如圖1，當點o在斜邊ab上時，求⊙o的半徑；
（2）如圖2，當d**段bc上時，使四邊形aode為菱形時，求cd的長。
（3）當d**段cb的延長線上時，使四邊形aeod為菱形時，cd的值為 。（直接寫出結果）
例23：（圓的綜合）在直角座標系中，正方形oabc的兩邊oc、oa分別在x軸、y軸上，a點的座標為(o，4)．
(1) 將正方形似bc繞點d順時針旋轉30°，得正
方形odef，邊de交bc於g，求g點座標．
（2）如圖，⊙與正方形abco四邊都相切，直
線mq切⊙於p，分別交y軸、x軸、線段bc
於m、n、q．求證： n平分∠mq．
例24：（圓與函式）在平面直角座標系中，點a的座標為（2，），c、d分別為x、y軸正半軸上的動點，將△ocd沿cd翻摺，使點o落到直線ac上的點b處（圖1）.
（1）若點b與點a重合，求oc的長（圖2）。
（2）若點b不與點a重合，以a為圓心，ab為半徑作⊙a，設⊙a的半徑長為r，oc的長為。
（ⅰ）當=1時，求四邊形acod的面積。
（ⅱ）當=3r，且時，判斷⊙a與直線cd的位置關係。
例25.（圓）如圖，在rt△abc中，∠ b=90°，e為ab上一點，∠ c=∠beo，o是bc上一點，以d為圓心，ob長為半徑作⊙o，，ac是⊙o，的切線．
(1)求證：oe=oc；
(2)若be=4，bc=8，求oe的長.
例26.（旋轉）如圖，等邊三角形abc和等邊三角形dec，ce和ac重合，ce=ab,
(1)求證：ad=be；
(2)若ce繞點c順時針旋轉30度，連bd交ac於點g，取ab的中點f連fg，求證：be=2fg；
(3)在(2)的條件下ab=2，則ag直接寫出結果）
例27.（圓與函式）如圖，⊙m交x軸於b、c兩點，交y軸於a，點m的縱座標為2．，b（-3，o），c（，o）．
(1)求⊙m的半徑； ．
(2)若ce⊥ab於h,交y軸於f，求證：eh=fh.
(3)在(2)的條件下求af的長．
例28.（相似）在△abc中，ab=ac，bc=14，m為bc的中點，∠kmw=∠abc=,mk和mw分別交ab和ac於q、p,mh⊥pq於h.
(1)如圖①，ａ=60°，則bq·cpmh
(2) 如圖②，0°＜＜90°，求bq·cp和mh的值（可用含的代數式表示）.
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