各地解析分類彙編:立體幾何
1【雲南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中主檢視和左檢視是腰長為1的兩個全等的
等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）
ab. cd.
【答案】c
【解析】由主檢視和左檢視是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，得到這是乙個四稜錐，底面是乙個邊長是1的正方形，一條側稜ae與底面垂直，∴根據求與四稜錐的對稱性知，外接球的直徑是ac根據直角三角形的勾股定理知,半徑為，所以外接球的面積為，選c.
2.【雲南省玉溪一中2013屆高三上學期期中考試理】設表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題：
①若∥，且則若∥，且∥.則∥；
③若，則∥m∥n；
④若且n∥,則∥m.
其中正確命題的個數是( )
a．1b．2c．3 d．4
【答案】b
【解析】①正確；②中當直線時，不成立；③中，還有可能相交一點，不成立；④正確，所以正確的有2個，選b.
【解析】由三檢視可知，此幾何體為三稜錐，如圖1，其中正檢視為，是邊長為2的正三角形，，且，底面為等腰直角三角形，，所以體積為，故選b.
4.【雲南省玉溪一中2013屆高三第三次月考理】已知三稜錐的三檢視如圖所示，則它的外接球表面積為（ ）
a．16 b．4 c．8 d．2
【答案】b
【解析】由三檢視可知該幾何體是三稜錐，且三稜錐的高為1，底面為乙個直角三角形，由於底面斜邊上的中線長為1，則底面的外接圓半徑為1，頂點在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，由於頂點到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等則三稜錐的外接球半徑r為1，則三稜錐的外接球表面積，選b.
5.【雲南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測試理】如圖， 在長方體abcd—a1b1c1d1中，對角線b1d與平面a1bc1相交於點e，則點e為△a1bc1的
a．垂心 b．內心 c．外心 d．重心
【答案】d
【解析】如圖，,所以,且為的中點，選d.
6.【雲南省昆明一中2013屆高三新課程第一次摸底測試理】某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的表面積為
a． b．
c． d．32
【答案】b
【解析】根據三檢視可知，這是乙個四稜臺，，，所以表面積為，選b.
7.【山東省煙台市萊州一中20l3屆高三第二次質量檢測 （理）】設b，c表示兩條直線，表示兩個平面，則下列命題正確的是
a.若 b.若
c.若 d.若
【答案】d
【解析】a中，與也有可能異面；b中也有可能；c中不一定垂直平面；d中根據面面垂直的判定定理可知正確，選d.
8.【山東省聊城市東阿一中2013屆高三上學期期初考試 】設直線m、n和平面,下列四個命題中，正確的是
a. 若b. 若
c. 若 d. 若
【答案】d
【解析】因為選項a中，兩條直線同時平行與同乙個平面，則兩直線的位置關係有三種，選項b中，只有mm,n相交時成立，選項c中，只有m垂直於交線時成立，故選d
9.【北京市東城區普通校2013屆高三12月聯考數學（理）】 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是
ab．cd．【答案】b
【解析】根據線面垂直的性質可知，b正確。
【北京市東城區普通校2013屆高三12月聯考數學（理）】乙個稜錐的三檢視如圖（尺寸的長度單位為）， 則該稜錐的體積是
abcd
【答案】a
【解析】由三檢視可以看出，，高為2，底面邊長為2，底面面積
故此三稜錐的體積為，選a.
10.【雲南省玉溪一中2013屆高三第三次月考理】設動點在稜長為1的正方體的對角線上，記。當為鈍角時，則的取值範圍是
【答案】
【解析】由題設可知，以、、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角座標系d﹣xyz，則有，，，，則，得，所以，
顯然不是平角，所以為鈍角等價於，即，即，解得，因此的取值範圍是。
11.【雲南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】已知正三稜錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為________.
【答案】
【解析】因為在正三稜錐abc中，pa，pb，pc兩兩互相垂直，所以可以把該正三稜錐看作為乙個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內接於球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點.球心到截面abc的距離為球的半徑減去正三稜錐abc在面abc上的高.已知球的半徑為，所以正方體的稜長為2，可求得正三稜錐abc在面abc上的高為，所以球心到截面abc的距離為.
【解析】如圖3，設三稜錐的外接球球心為o，
半徑為r，bc=cd=bd=，ab=ac=ad=2，
13.【山東省濟南外國語學校2013屆高三上學期期中考試理科】乙個幾何體的三檢視如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為
【答案】4
【解析】由三檢視可知，該組合體是由兩個邊長分別為2,1，1和1,1,2的兩個長方體，所以體積之和為。
14.【山東省煙台市萊州一中20l3屆高三第二次質量檢測 （理）】乙個幾何體的三檢視如右圖所示，則該幾何體的表面積為
【答案】
【解析】由三檢視可知，該組合體下部是底面邊長為2，高為3的正四稜柱，上部是半徑為2的半球，所以它的表面積為。
15.【天津市新華中學2012屆高三上學期第二次月考理】 如圖為乙個幾何體的三檢視，其中俯視為正三角形，ab=2,aa=4，則該幾何體的表面積為_______。
【答案】
【解析】由三檢視可知，該幾何體是乙個正三稜柱，底面邊長為2，高是4.所以該三稜柱的表面積為。
16.【雲南省玉溪一中2013屆高三第三次月考理】（本小題滿分12分）如圖，在長方體，中，，點在稜ab上移動.
（1）證明：；
（2）當為的中點時，求點到面的距離
（3）等於何值時，二面角的大小為.
【答案】解：以為座標原點，直線分別為軸，建立空間直角座標系，設，則…………2分
（1）………………4分
（2）因為為的中點，則，從而，
，設平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點到平面的距離為
8分（3）設平面的法向量，
∴由令，
∴依題意
∴（不合，捨去）， .
∴時，二面角的大小為12分
17.【雲南省玉溪一中2013屆高三第四次月考理】（本題12分）如圖6，在長方體中，，為中點.
（1）求證：；
（2）在稜上是否存在一點，使得平面?若存在，求的長；若不存在，說明理由；
（3）若二面角的大小為30°，求的長.
圖6【答案】解:（1）以a為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角座標系(如圖).設ab＝a，則a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
因為·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以b1e⊥ad1.
（2）假設在稜aa1上存在一點p(0,0，z0)，
使得dp∥平面b1ae.此時＝(0，－1，z0).
又設平面b1ae的法向量n＝(x，y，z).
因為n⊥平面b1ae，所以n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面b1ae的乙個法向量n＝.
要使dp∥平面b1ae，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.
又dp平面b1ae，所以存在點p，滿足dp∥平面b1ae，此時ap＝.
（3）連線a1d，b1c，由長方體abcd－a1b1c1d1及aa1＝ad＝1，得ad1⊥a1d.
因為b1c∥a1d，所以ad1⊥b1c.
又由（1）知b1e⊥ad1，且b1c∩b1e＝b1，
所以ad1⊥平面dcb1a1.所以是平面a1b1e的乙個法向量，此時＝(0,1,1).
設與n所成的角為θ，
則cosθ＝＝.
因為二面角a－b1e－a1的大小為30°，
所以|cosθ|＝cos30°，即＝，
解得a＝2，即ab的長為2.
18.【雲南師大附中2013屆高三高考適應性月考卷（三）理科】（本小題滿分12分）
如圖5甲，四邊形abcd中，e是bc的中點，db =2, dc=1，bc=，ab =ad=．將（圖甲）沿直線bd折起，使二面角a － bd －c為60o（如圖乙）．
（ⅰ）求證：ae⊥平面bdc;
（ⅱ）求點b到平面acd的距離．
【答案】（ⅰ）證明：如圖4，取bd中點m，連線am，me.
因為ab=ad=，所以am⊥bd，
因為db=2，dc=1，bc=，滿足：db2+dc2=bc2，
所以△bcd是以bc為斜邊的直角三角形，bd⊥dc
因為e是bc的中點，所以me為△bcd的中位線，
me∥，
me⊥bd，me2分）
∠ame是二面角a-bd-c的平面角，=°.
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