立體幾何知識點and例題講解
一、知識點
《一》常用結論
1．證明直線與直線的平行的思考途徑：（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為麵麵平行.
2．證明直線與平面的平行的思考途徑：（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為麵麵平行.
3．證明平面與平面平行的思考途徑：（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.
4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.
5．證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直於另乙個平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.
7.夾角公式 ：設a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.
8．異面直線所成角：=
（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）
9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).
10、空間四點a、b、c、p共面，且 x + y + z = 1
11.二面角的平面角
或（，為平面，的法向量）.
12.三餘弦定理：設ac是α內的任一條直線，且bc⊥ac，垂足為c，又設ao與ab所成的角為，ab與ac所成的角為，ao與ac所成的角為．則.
13.空間兩點間的距離公式若a，b，則=.
14.異面直線間的距離： (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
15.點到平面的距離：（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.
16.三個向量和的平方公式：
17. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
18. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).
19. 球的組合體(1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的稜長, 正方體的稜切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3) 球與正四面體的組合體:
稜長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.
20.求點到面的距離的常規方法是什麼？（直接法、體積法）
〈二〉溫馨提示：
1.在用反三角函式表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值範圍及義？
① 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值範圍依次.
② 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值範圍依次是．
③ 反正弦、反余弦、反正切函式的取值範圍分別是．
〈三〉解題思路：
1、平行垂直的證明主要利用線面關係的轉化：
線面平行的判定：
線面平行的性質：
三垂線定理（及逆定理）：
線面垂直：
面面垂直：
2、三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂線定理法：a∈α作或證ab⊥β於b，作bo⊥稜於o，連ao，則ao⊥稜l，∴∠aob為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關的角。
②證明其符合定義，並指出所求作的角。
③計算大小（解直角三角形，或用餘弦定理
（四）．稜柱和稜錐
（1）. 稜柱.
a.①直稜柱側面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直稜柱的側面展開圖為矩形得出的.
②斜稜住側面積：（是斜稜柱直截面周長，是斜稜柱的側稜長）該公式是利用斜稜柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.
b..=.
c.稜柱具有的性質：
①稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側稜都相等；直稜柱的各個側面都是矩形；正稜柱的各個側面都是全等的矩形.
②稜柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
③過稜柱不相鄰的兩條側稜的截面都是平行四邊形.
注：①稜柱有乙個側面和底面的一條邊垂直可推測是直稜柱. （×）
（直稜柱不能保證底面是矩形,可如圖）
②（直稜柱定義）稜柱有一條側稜和底面垂直.
d.平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交於一點，並且在交點處互相平分.
[注]：四稜柱的對角線不一定相交於一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等於乙個頂點上三條稜長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同乙個頂點的三條稜所成的角為，則 .
推論二：長方體一條對角線與同乙個頂點的三各側面所成的角為，則.
[注]：①有兩個側面是矩形的稜柱是直稜柱.（×）（斜四稜柱的兩個平行的平面可以為矩形）
②各側面都是正方形的稜柱一定是正稜柱.（×）（應是各側面都是正方形的直稜柱才行）
③對角面都是全等的矩形的直四稜柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）
④稜柱成為直稜柱的乙個必要不充分條件是稜柱有一條側稜與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）
（2）. 稜錐：稜錐是乙個面為多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形.
[注]：①乙個三稜錐四個面可以都為直角三角形.
②乙個稜柱可以分成等體積的三個三稜錐；所以.
a.①正稜錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.
[注]：i. 正四稜錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各稜相等，而正三稜錐是底面為正三角形，側稜與底稜不一定相等
iii. 正稜錐定義的推論：若乙個稜錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側稜相等）；底面為正多邊形.
②正稜錐的側面積：（底面周長為，斜高為）
③稜錐的側面積與底面積的射影公式：（側面與底面成的二面角為）
附：以知⊥，，為二面角.
則①，②，③ ①②③得.
注：s為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.
b.稜錐具有的性質：①正稜錐各側稜相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正稜錐的斜高）.
②正稜錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成乙個直角三角形，正稜錐的高、側稜、側稜在底面內的射影也組成乙個直角三角形.
c.特殊稜錐的頂點在底面的射影位置：
①稜錐的側稜長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②稜錐的側稜與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③稜錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
④稜錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
⑤三稜錐有兩組對稜垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
⑥三稜錐的三條側稜兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.
⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條稜的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等於球半徑；
⑧每個四面體都有內切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等於半徑.
[注]：i. 各個側面都是等腰三角形，且底面是正方形的稜錐是正四稜錐.（×）（各個側面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若乙個三稜錐，兩條相對稜互相垂直，則第三組相對稜必然垂直.
簡證：ab⊥cd，ac⊥bd bc⊥ad. 令
得，已知
則.iii. 空間四邊形oabc且四邊長相等，則順次鏈結各邊的中點的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次鏈結各邊的中點的四邊是一定是正方形.
簡證：取ac中點，則平面90°易知efgh為平行四邊形efgh為長方形.若對角線等，則
為正方形.
（3）. 球：
a.球的截面是乙個圓面.
①球的表面積公式：.②球的體積公式：.
b.緯度、經度：
①緯度：地球上一點的緯度是指經過點的球半徑與赤道面所成的角的度數.
②經度：地球上兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是點的經度.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
③錐體體積：（為底面積，為高）
（1）. ①內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，，，，得.
注：球內切於四面體：。
②外接球：球外置於正四面體，可如圖建立關係式.
二、題型與方法
【考點透視】
不論是求空間距離還是空間角，都要按照「一作，二證，三算」的步驟來完成。
求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統的幾何方法，二是利用空間向量。
【例題解析】
考點1 點到平面的距離
求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關鍵在於確定點在平面內的垂足，當然別忘了轉化法與等體積法的應用.
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