一、回歸定義
例1 已知點p(3，2)在拋物線y2＝4x的內部，f是拋物線的焦點，在拋物線上求一點m，使|mp|＋|mf|有最小值，並求此最小值．
解：過m作準線l的垂線ma，垂足有a，則由拋物線的定義有|mf|＝|ma|．
∴|mp|＋|mf|＝|mp|＋|ma|，
顯然當p、m、a三點共線時，即|mp|＋|mf|最小．
此時，m點的座標為(1，2)，最小值為4．
二、巧設方程
例2 拋物線頂點在頂點，焦點在x軸，而且被直線y＝2x＋1所截得的弦長ab為，求拋物線的方程．
分析：此題僅焦點位置定，而開口未定，常規方法要分類討論．其實可巧設方程y2＝ax(a≠0)而得簡解．
解：由題意，可設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，將直線方程y＝2x＋1代入拋物線方程，並消去y，整理，得
4x2＋(4－a)x＋1＝0．
則x1＋x2＝，x1x2＝．
再由弦長公式|ab|＝．
∴＝，即a2－8a－48＝0．
解得a＝12或a＝－4．
故所求的拋物線方程為y2＝12x，或y2＝－4x．
三、設而不求
例3 已知拋物線y2＝－8x的弦pq被點a(－1，1)平分，求弦pq所在的直線方程．
解：設pq的端點p(x1，y1)，q(x2，y2)，則有
，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)，
∴＝－4， 即＝－4．
故pq所在的直線方程為y－1＝－4(x＋1)，即4x＋y＋3＝0．
四、運用性質
拋物線y2＝2px(p＞0)的性質很多，特別是過焦點f的弦ab的性質非常重要，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有性質：①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝等等．
例4過拋物線y2＝2px焦點f的一條直線與拋物線交於p，q兩點，過p與拋物線頂點的直線交準線於m，求證：mq平行於拋物線的對稱軸．
證明：設p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x3，y3)，則由結論，得
y2＝．
又焦點f(，0)，準線x＝－，則op所在的直線方程為y＝．
則得m點的縱座標為y3＝－，又x1＝，
故y3＝－＝－．
∴y2＝y3．
所以直線mq平行於拋物線的對稱軸．
五、選取特例
特別是有關定值的拋物線問題，或是有關拋物線的選擇題，常常可用此法．
例5 過拋物線的焦點f作一直線交拋物線於p、q兩點，若線段pf與fq的長分別是、，則等於
(a)2a (b) (c) 4a (d)
解：取直線pq平行於x軸，則p＝q＝，則＝＝4a，選(c)．
六、運用向量
例6 過拋物線的焦點f的直線與拋物線相交於a、b兩點，自a、b兩準線作垂線，垂足分別為，求證：．
解：拋物線的焦點，設a、b兩點的縱座標分別為，易得，又
，則，故，則，即。
拋物線問題小結教師版
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關於拋物線焦點的公式
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