模組： 五、數列
課題： 7、歸納、猜想、證明
教學目標： 領會「歸納——猜想——論證」的思想方法．
重難點： 通過歸納猜想命題的一般結論．
一、 知識要點
「歸納、猜想、證明」就是運用「檢驗有限個的值，尋找一定規律，猜想乙個結論，然後用數學歸納法證明所猜想的結論正確」的解題方法．
理解乙個完整的思維過程，往往是既要發現結論，又要證明結論的正確性．這就需要掌握運用由特殊到一般的思維方法，也就是通過觀察、歸納，提出猜想，探求結論，且運用嚴密的邏輯推理，即數學歸納法證明結論（猜想）的正確．領會「歸納、猜想、證明」的思想方法，非常有助於提高觀察分析能力．
二、 例題精講
例1、在數列中，且通過求猜想的表示式，並證明你的結論．
答案：例2、數列滿足，．
（1） 求，，；
（2） 根據（1），猜想數列的通項公式；
（3） 用數學歸納法證明你的猜想．
答案：（1）；（2）；（3）略．
例3、已知函式，數列滿足，．
（1） 寫出的表示式，並用數學歸納法加以證明；
（2） 設，若數列的前項和，求．
答案：（1），證明略；（2）120．
例4、已知等差數列和等比數列且，且．
（1） 試比較與，與的大小，並猜想與的大小關係；
（2） 證明上述猜想的正確性．
答案：（1）；（2）正確，證明略．
例5、設數列的前項和為，且方程有一根為，，
（1） 求；
（2） 猜想數列的通項公式，並給出嚴格的證明．
答案：（1）；（2）．
*例6、數列滿足，且，記．
（1） 求的值；
（2） 求數列的通項公式及數列的前項和．
答案：（1）；（2），．
三、 課堂練習
1、已知數列前四項依次為，，，，猜想通項
答案：2、，，，則分別為猜想
答案：，．
3、根據2條直線相交有1個交點，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，推斷條直線兩兩相交最多有個交點．
答案：4、數列中，已知，，依次計算出後，歸納、猜想的通項為（ ）
abcd、
答案：d
5、已知等差數列前項和為，則有成立，若推廣上述結論應為（ ）
ab、c、 d、
答案：d
四、 課後作業
一、填空題
1、由給寫的數列前四項，猜想通項公式
（1）1
（2答案：（1）；（2）
2、數列中， ，且前項和為，成等差數列，則，，分別為猜想
答案：，．
3、由歸納原理探求：凸邊形的對角線條數
答案：4、，則
答案：5、由歸納原理探求：平面內個圓，其中每兩個圓都相交於兩點，且任意三個圓不相交於同一點，則該個圓分平面區域數
答案：6、在數列中，如果存在非零常數，使得對任意的非零自然數均成立，那麼就稱數列為週期數列，其中叫做的週期．已知數列滿足，如果，選取適當的值，使得數列的週期最小，則此時該數列前2013項的和是
答案：1342
二、選擇題
7、數列中，且，依次計算後，歸納、猜想的通項為（ ）
abcd、
答案：c
8、設，，，猜想（ ）
ab、 c、 d、
答案：c
9、已知正數，且數列滿足，，依次計算、後，猜想的表示式為（ ）
a、 b、 c、 d、
答案：b
三、解答題
10、證明：．
11、證明：是11的倍數．
12、已知數列的通項公式，數列的通項滿足，用數學歸納法證明：．
歸納猜想證明
問題2 數列的通項公式，計算的值，可以得到什麼結論？學生回答 該數列的前四項都是1，猜測該數列的所有項都是1，這是錯誤的結論，該數列第五項是25。解決以上兩個問題用的都是歸納法 用一些特殊事例推出一般結論。為什麼問題1的結論正確，問題2的結論錯誤呢？這是因為問題1中，一共10個球，全部看了一遍，結論...
歸納 猜想與證明
中學教研 數學 正 陸洪良 嘉興市第一中學實驗學校浙江嘉興 隨著新課程標準的推行和考試觀念的轉變，以注重培養學生的發現思維能力與解決問題能力的 新題型越來越多地湧現，其中歸納 猜想與證明等問題備受青睞 那麼，什麼是歸納 猜想與證明呢？歸納 猜想與證明指的是給出一定的條件 可以是有規律的算式 圖形或圖...
第1講歸納 猜想 證明
數學高考綜合能力題選講8 100080 北京中國人民大學附中梁麗平 題型 觀察 歸納 猜想 證明是解決探索性問題的重要思維方法，也是高考考查的熱點 範例選講 例1 已知數列滿足，對於任意的n n，都有 0，且.又知數列滿足 求數列的通項以及它的前n項和 求數列的前n項和 猜想和的大小關係，並說明理由...