絕密★啟用前
1. 已知:如圖,在四邊形abcd中,ab∥cd,e,f為對角線ac上兩點,且ae=cf,df∥be,ac平分∠bad.求證:四邊形abcd為菱形.
【答案】∵ab∥cd,
∴∠bae=∠dcf.
∵df∥be,
∴∠bef=∠dfe,
∴∠aeb=∠cfd.
又∵ae=cf,
∴△aeb≌∠cfd,
∴ab=cd.
∵ab∥cd,
∴四邊形abcd是平行四邊形.
∵ac平分∠bad,
∴∠bae=∠daf.
又∠bae=∠dcf,
∴∠daf=∠dcf,
∴ad=cd,
∴四邊形abcd是菱形.
2. 如圖，矩形abcd中，點o為ac的中點，過點o的直線分別與ab，cd交於點e，f，連線bf交ac於點m，連線de，bo.若∠cob=60°，fo=fc.
求證:(1)四邊形ebfd是菱形;
【答案】連線od.∵點o為矩形abcd的對角線ac的中點，
∴b,d,o三點共線且bd=do=co=ao.
在矩形abcd中，ab∥dc，ab=dc，∴∠fco=∠eao.
在△cfo和△aeo中，
∴△cfo≌△aeo，∴fo=eo.
又∵bo=do，∴四邊形befd是平行四邊形.
∵bo=co，∠cob=60°，
∴△cob是等邊三角形.∴∠ocb=60°.
∴∠fco=∠dcb-∠ocb=30°.
∵fo=fc，∴∠foc=∠fco=30°.
∴∠fob=∠foc+∠cob=90°.
∴ef⊥bd.∴平行四邊形ebfd是菱形.
(2)mb∶oe=3∶2.
【答案】∵bo=bc，∴點b**段oc的垂直平分線上.
∵fo=fc，∴點f**段oc的垂直平分線上.
∴bf是線段oc的垂直平分線.
∴∠fmo=∠omb=90°.
∴∠obm=30°.∴of=bf.
∵∠foc=30°，∴fm=of.
∴bm=bf-mf=2of-of=of.
即fo=eo，∴bm∶oe=3∶2.
3. 如圖,在△abc中,∠abc=90°,bd為ac邊上的中線,過點c作ce⊥bd於點e,過點a作bd的平行線,交ce的延長線於點f,在af的延長線上擷取fg=bd,連線bg,df.求證:
四邊形bgfd是菱形.
【答案】∵fg∥bd,bd=fg,∴四邊形bgfd是平行四邊形.
∵cf⊥bd,ag∥bd,∴cf⊥ag.又∵∠abc=90°,點d是ac的中點,∴bd=df=ac,
∴平行四邊形bgfd是菱形.
4. 如圖,點o是菱形abcd對角線的交點,de∥ac,ce∥bd,連線oe.
求證:oe=bc.
【答案】∵de∥ac,ce∥bd,
∴四邊形oced是平行四邊形.
∵四邊形abcd是菱形,
∴ac⊥bd,ob=od,
∴∠boc=∠cod=90°,
∴四邊形oced是矩形,
∴∠ode=90°,∵ob=od,∠boc=∠ode=90°,
∴bc=,oe=,
∵de=oc.
∴oe=bc.
5. [2015·蘭州中考,25](9分)如圖,四邊形abcd中,ab∥cd,ab≠cd,bd=ac.
(1)求證:ad=bc;
【答案】作bm∥ac,bm交dc的延長線於點m,則∠acd=∠bmd. 1分
∵ab∥cd,bm∥ac,
∴四邊形abmc為平行四邊形. 2分
∴ac=bm.
∵bd=ac,∴bm=bd.
∴∠bdm=∠bmd.
∴∠bdc=∠acd.
在△bdc和△acd中,
∴△bdc≌△acd. 4分
∴bc=ad. 5分
(2)若e,f,g,h分別是ab,cd,ac,bd的中點.求證:線段ef與線段gh互相垂直平分.
【答案】連線eg,gf,fh,he. 6分
∵e,h為ab,bd的中點,∴eh=ad.
同理fg=ad,eg=bc,fh=bc.
∵bc=ad,∴eg=fg=fh=eh. 8分
∴四邊形egfh為菱形,
∴ef與gh互相垂直平分. 9分
6. [2015·長春中考,18](7分)如圖,ce是△abc外角∠acd的平分線,af∥cd交ce於點f,fg∥ac交cd於點g,求證:四邊形acgf是菱形.
【答案】因為af∥cd,fg∥ac,
所以四邊形acgf是平行四邊形①,
又因為∠ace=∠ecg,∠ecg=∠afc,
所以∠ace=∠afc,所以ac=af②,
由①②得四邊形acgf是菱形.
7. [2010·上海中考，23]已知梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad(如圖所示)，∠bad的平分線ae交bc於點e，鏈結de.
(1)在圖中，用尺規作∠bad的平分線ae(保留作圖痕跡，不寫作法)，並證明四邊形abed是菱形；
【答案】
∵∠bae＝∠dae，
∠dae＝∠bea，
∴∠bae＝∠bea，ab＝be＝ad，
ad∥be，∴四邊形abed的平行四邊形，又ab＝ad，
∴四邊形abed為菱形
(2)∠abc＝60°，ec＝2be，求證：ed⊥dc.
【答案】過d作df∥ae，則df＝cf＝1，
∴∠c＝30°，而∠dec＝60°，
∴∠edc＝90°，∴ed⊥dc.
8. [2010·瀋陽中考，19]如圖，菱形abcd的對角線ac與bd相交於o，點e，f分別為邊ab，ad的中點，連線ef，oe，of，求證：四邊形aeof是菱形.
【答案】∵點e，f分別為ab，ad的中點
∴ae＝ab，af＝ad(2分)
又∵四邊形abcd是菱形
∴ab＝ad
∴ae＝af(4分)
又∵菱形abcd的對角線ac與bd相交於點o
∴o為bd的中點
∴oe，of是△abd的中位線(6分)
∴oe∥ad，of∥ab
∴四邊形aeof是平行四邊形(8分)
∵ae＝af
∴四邊形aeof是菱形(10分)
9. [2010·安徽中考，20]如圖，ad∥fe，點b,c在ad上，∠1＝∠2，bf＝bc.
(1)求證：四邊形bcef是菱形；
【答案】∵ad∥fe，∴∠feb＝∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠feb＝∠1.
∴bf＝ef
∵bf＝bc，∴bc＝ef.
∴四邊形bcef是平行四邊形
∵bf＝bc，
∴四邊形bcef是菱形(5分)
(2)若ab＝bc＝cd，求證：△acf≌△bde.
【答案】∵ef＝bc，ab＝bc＝cd，ad∥fe，
∴四邊形abef、四邊形cdef均為平行四邊形，∴af＝be，fc＝ed.(8分)
又∵ac＝2bc＝bd，(9分)
∴△acf≌△bde.(10分)
10. [2013·長沙中考，24]如圖，在abcd中，m，n分別是ad，bc的中點，∠and＝90°，連線cm交dn於點o.
(1)求證：△abn≌△cdm；
【答案】∵∠abn＝∠cdm，ab＝cd，
bn＝bc＝ad＝dm，
∴△abn≌△cdm(sas).
(2)過點c作ce⊥mn於點e，交dn於點p，若pe＝1，∠1＝∠2，求an的長.
【答案】∵m，o分別為ad，nd的中點，
∴an∥mo且an＝2mo，
∴∠mod＝∠and＝90°，即平行四邊形cdmn是菱形，
在rt△mod與rt△nec中，
∵∠1＝∠2，md＝nc，∴rt△mod≌rt△nec，
∴mo＝ne.
根據菱形的性質可知，∠mnd＝∠***，∠1＝∠***，所以∠mnd＝∠***＝∠2＝30°，所以在rt△enp中ne＝pe÷tan30°＝，
即an＝2.
11. 如圖,在△abc中,∠a=90°,ah⊥bc於點h,∠b的平分線交ac於點d,交ah於點e,df⊥bc於點f,求證:四邊形aefd是菱形.
【答案】∵∠abd=∠fbd,bd=bd,∠bad=∠dfb=90°,
∴△abd≌△fbd,∴ad=df,ab=fb.
又∠abe=∠fbe,be=be,
∴△abe≌△fbe.
∴∠bae=∠bfe.
又∠bae=90°-∠abc=∠c,
∴∠bfe=∠c,∴ef∥ad.
∵df⊥bc,ah⊥bc,∴ae∥df.
∴四邊形aefd是平行四邊形.
又ad=df,∴四邊形aefd是菱形.
12. [2012·南寧中考,25]如圖,已知矩形紙片abcd,ad＝2,ab＝4,將紙片摺疊,使頂點a與邊cd上的點e重合,摺痕fg分別與ab,cd交於點g,f,ae與fg交於點o.
圖1圖2
(1)如圖1,求證：a,g,e,f四點圍成的四邊形是菱形；
【答案】證法一：
證明：在矩形abcd中,cd∥ab
∴∠1＝∠3(1分)
由摺疊可知：ag＝eg,∠1＝∠2
∴∠2＝∠3
∴ef＝eg(2分)
∴ef＝ag
∴四邊形agef是菱形(3分)
證法二：
證明：連線af,由摺疊可知
oa＝oe,ag＝eg(1分)
在矩形abcd中,ab∥cd
∴∠aef＝∠eag
∵∠aog＝∠eof
∴△aog≌△eof(asa)(2分)
∴ag＝ef
∴四邊形agef是菱形(3分)
(2)如圖2,當△aed的外接圓與bc相切於點n時,求證,點n是線段bc的中點；
【答案】證明：連線on,o是rt△ade外接圓圓心.
∵⊙o與bc相切於點n
∴on⊥bc(4分)
在矩形abcd中,dc⊥bc,ab⊥bc
∴cd∥on∥ab
∴＝(5分)
∵oa＝oe ∴cn＝nb
即n為bc的中點(6分)
(3)如圖2,在第2問的條件下,求摺痕fg的長.
【答案】解法一：
過點o作om⊥ab於點m,則四邊形ombn是矩形
設⊙o半徑為x,則oa＝oe＝on＝x(7分)
∵ab＝4,ad＝2 ∴am＝4－x
由第2問得,nb＝om＝1
在rt△aom中,oa2＝am2＋om2
∴x2＝(4－x)2＋12 ∴x＝(8分)
am＝4－＝
∵∠feo＝∠oam
又∵∠foe＝∠oma＝90°
∴rt△efo∽rt△aom
∴＝ ∴＝(9分)
∴of＝ ∴fg＝2of＝(10分)
解法二：
延長no交ad於點m
∴四邊形abnm是矩形
∴am＝bn＝ad＝1
∵o為rt△ade外接圓圓心
∴oa＝oe＝on
設on為x,則om＝4－x(7分)
在rt△amo中,am2＋om2＝oa2
即12＋(4－x)2＝x2
x＝(8分)
∴om＝4－＝
∵fg⊥ae,mn∥dc ∴∠feo＝∠moa ∠amo＝∠eof＝90°
∴△eof∽△oma
∴＝ ∴＝(9分)
∴of＝ fg＝2of＝(10分)
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