第九單元第五節
一、選擇題
1．α，β是兩個不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面α∥β的條件是 ( )
a．m，n是α內乙個三角形的兩條邊，且m∥β，n∥β
b．α內有不共線的三點到β的距離都相等
c．α，β都垂直於同一條直線a
d．m，n是兩條異面直線，mα，nβ，且m∥β，n∥α
【解析】
如圖，e、f、g、h分別是正方體各稜的中點，點b1，c1，b到平面efgh距離相等，但平面bcc1b1與平面efgh相交，故b錯．
【答案】 b
2．設a、b是兩條互不垂直的異面直線，過a、b分別作平面α、β，對於下面四種情況：①b∥α，②b其中可能的情況有
a．1種 b．2種
c．3種 d．4種
【解析】 ①③④都有可能，②不可能，否則有b⊥a，與已知矛盾．
【答案】 c
3．若a，b是兩條異面直線， 則存在唯一確定的平面β， 滿足 ( )
a．a∥β且b∥β b．aβ且b∥β
c．a∥β且b⊥β d．aβ且b⊥β
【解析】 選項a中的平面β有無數個．選項c和選項d中當a⊥b時，β存在；當a與b不垂直時，β不存在．
【答案】 b
4．(精選考題·海淀區期末)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中不正確的是( )
a．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n
b．若m∥n，m⊥α，則n⊥α
c．若m⊥α，m⊥β，則α∥β
d．若m⊥α，mβ，則α⊥β
【解析】 選項a中，直線m與直線n也可能異面，因此a不正確．
【答案】 a
5．下列命題中錯誤的是 ( )
a．平行於同一條直線的兩個平面平行
b．平行於同一平面的兩個平面平行
c．垂直於同一直線的兩個平面平行
d．過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有乙個
【解析】 a選項中，平行於同一條直線的兩個平面，可以平行，也可以相交．其餘選項皆正確．
【答案】 a
6．在空間四邊形abcd中，e，f分別是ab，ad上的點，且ae∶eb＝af∶fd＝1∶4，又h，g分別為bc，cd的中點，則( )
a．bd∥平面efg，且四邊形efgh是矩形
b．ef∥平面bcd，且四邊形efgh是梯形
c．hg∥平面abd，且四邊形efgh是菱形
d．eh∥平面adc，且四邊形efgh是平行四邊形
【解析】 ef∥bd∥hg，且ef≠hg，∴ef∥平面bcd，且四邊形efgh是梯形．
【答案】 b
7．若空間四邊形abcd的兩條對角線ac、bd的長分別是8、12，過ab的中點e且平行於bd、ac的截面四邊形的周長為( )
a．10 b．20 c．8 d．4
【解析】 由題意易知，截面過ab、bc、cd、da的中點，故其周長為2×(4＋6)＝20.
【答案】 b
二、填空題
8．已知a、b是相交直線，且a平行於平面α，那麼b與α的位置關係是________．
【解析】 b與α的位置關係除b在α內，皆有可能，即平行或相交．
【答案】 b∥α或b與α相交
9．在四面體abcd中，m、n分別為△acd和△bcd的重心，則四面體的四個麵中與mn平行的是________．
【解析】
如圖，取cd的中點e，則ae過m，且am＝2me，be過n，且bn＝2ne.連線mn，則ab∥mn，∴mn∥平面abc和平面abd.
【答案】 面abc和麵abd
10．在△abc中，ab＝5，ac＝7，∠bac＝60°，g是△abc的重心，過點g的平面α與bc平行，ab∩α＝m, ac∩α＝n，則mn
【解析】 如圖，由題意bc2＝72＋52－2×7×5cos60°＝39，bc＝.
∵bc∥α，α∩平面abc＝mn，
∴mn∥bc.
∵mn過重心，∴mn＝.
【答案】
三、解答題
11．已知四稜錐p－abcd，底面abcd為正方形，頂點在底面的射影為底面的中心．pa＝ab＝13，m、n分別是pa、bd上的點，且＝＝.
(1)求證：直線mn∥平面pbc；
(2)求線段mn的長．
【解析】
(1)證明：連線an並延長交bc於e，如圖所示，
由ad∥bc得，＝.
又＝，∴＝，
故mn∥pe.又mn平面pbc，pe平面pbc，
∴mn∥平面pbc.
(2)∵＝＝，得be＝×13＝，
在△pbe中，由餘弦定理可得
pe2＝bp2＋be2－2bp·be·cos60°
＝132＋2－2×13××＝，
∴pe＝.
再由＝＝，得mn＝×pe＝×＝7.
∴mn＝7.
12.(精選考題·陝西高考)如圖所示，在四稜錐p－abcd中，底面abcd是矩形．pa⊥平面abcd，ap＝ab，bp＝bc＝2，e，f分別是pb，pc的中點．
(1)證明：ef∥平面pad；
(2)求三稜錐e－abc的體積v.
【解析】 (1)證明：在△pbc中，e，f分別是pb，pc的中點，∴ef∥bc.又bc∥ad，∴ef∥ad.
又∵ad平面pad，ef平面pad，
∴ef∥平面pad.
(2)如圖，過e作eg∥pa交ab於點g，則eg⊥平面abcd，且eg＝pa.
在△pab中，ap＝ab，∠pab＝90°，bp＝2，
∴ap＝ab＝，eg＝，
∴s△abc＝ab·bc＝××2＝，
∴ve－abc＝s△abc·eg＝××＝.
第四節做功的快慢
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第四節溫度的測量
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