【知識點一.三角形的內角和外角】
（1） 三角形內角和定理
三角形三個內角的和等於180°
證明思路：通過新增輔助線，把三角形三個分散的角，全部或適當地集中起來，利用平角定義或兩直線平行，同旁內角互補來證明。
下面是幾種輔助線的添置方法，請同學們自己分析證明。
1、作bc的延長線cd，在△abc的外部，以ca為一邊，ce為另一邊，畫∠1=∠a。
2、作bc的延長線cd，過c點作ce∥ab。
3、過a點作de∥bc。
4、過a點作射線ad∥bc。
5、在bc上任取點d，過d作de∥ac交ab於e，df∥ab交ac於f
【典型例題】
例島在a島北偏東50°方向，b島在a島的北偏東80°方向，c島在b島北偏西40°方向，從c島看a、b兩島的視角∠acb是多少度？
例2. 在△abc中，已知∠a＝∠b＝∠c，請你判斷三角形的形狀。
例3.已知△abc
①若∠a=50°，∠b=60°，則∠c= 。
②若∠a=50°，∠b=∠c，則∠c = ，∠b= 。
③若∠a=50°，∠b-∠c=10°，則∠b = ，∠c= 。
④若∠a+∠b=130°，∠a-∠c=25°，則∠a = ，∠b = ，∠c= 。
⑤若∠a∶∠b∶∠c =1∶2∶3，則∠a = ，∠b = ，∠c= ，這個三角形是三角形。
例4.已知：如圖02-13△ abc中，∠ c=90°，∠ bac，∠ abc的平分線ad、be交於點o，求：∠ aob的度數。
例5．ab與cd相交於點o，求證：∠a+∠c=∠b+∠d
注：這道幾何題是一對對頂三角形組成的幾何圖形．因為我們發現了兩個三角形，所以便聯想到三角形內角和定理，探索思路，使問題解決了．可是這道題的應用價值很值得開發，它是一類幾何題開啟思路的「橋梁」，借助它可順利到達「彼岸」，請看例項．
變式：如圖，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
揭示思路：從圖形中觀察出現對頂三角形，此時便使我們設法把5個分散的角轉化在乙個圖形中，在這種想法趨使下，使我們想到對頂三角形這「橋梁」．
結合圖形，連cd，立即可發現，∠b+∠e=∠1+∠2
∴∠a+∠b+∠c+∠d+∠e
=∠a+∠acd+∠adc=180°（三角形內角和定理）
【鞏固練習】
1．直角三角形的兩個銳角相等，則每乙個銳角等於度。
2．△abc中，∠a=∠b+∠c，這個三角形是三角形。
3．國旗上的五角星中，五個銳角的和等於度。
4．在△abc中（1）已知：∠a=32.5°，∠b=84.2°，求∠c的度數。
（2）已知：∠a=50°，∠b比∠c小15°，求∠b的度數。
（3）已知：∠c=2∠b，∠b比∠a大20°，求∠a、∠b、∠c的度數。
5．已知，在△ abc中與最大的內角相鄰的外角是120°，則這個三角形一定是（ ）
a、不等邊三角形 b、鈍角三角形 c、等邊三角形 d、等腰直角三角形
6．△abc中，∠b=∠c=50°，ad平分∠bac，則∠bad=
7．在△abc中，∠a是∠b的2倍，∠c比∠a+∠b還大30°，則∠c的外角為度，這個三角形是三角形
8．△abc中，∠a=40°，∠b=60°，則與∠c相鄰的外角等於
9．△abc中，∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，則∠b=（ ）
a、30° b、60° c、90° d、120°
10．乙個三角形有一外角是88°，這個三角形是（ ）
a、銳角三角形 b、直角三角形 c、鈍角三角形 d、無法確定
11．已知△abc中，∠a為銳角，則△abc是（ ）
a、銳角三角形 b、直角三角形 c、鈍角三角形 d、無法確定
12．已知三角形的乙個外角小於與它相鄰的內角，那麼這個三角形（ ）
a、是銳角三角形 b、是直角三角形 c、是鈍角三角形 d、以上三種都有可能
13.如圖，在△abc中，∠c＝∠abc＝2∠a，bd是ac邊上的高，求∠dbc的度數。
14.如圖，dp平分∠cda，bp平分∠abc，則∠p與∠a、∠c之間的關係怎樣？請說明理由。
【知識點二.三角形內角和定理的推論】
推論1：直角三角形的兩個銳角互餘。
表示式：∵在rt△acb中，∠c=90°（已知）
∴∠a+∠b=90°（直角三角形的兩個銳角互餘）
推論2：三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
推論3：三角形的乙個外角大於任何乙個和它不相鄰的內角。
表示式：△acb中，∠acd=∠a+∠b ∠acd＞∠a，∠acd＞∠b
例題解析
例1. d是ab上一點，e是ac上一點，be、cd相交於點f，∠a＝62
∠acd＝35°，∠abf＝20°
求：① ∠bdc的度數② ∠bfc的度數
例2.在△abc中，∠a、∠b、∠c的外角的度數的比是4：3：2，求∠a的度數。
例3.如圖，∠1=20°，∠2=25°，∠a=35°，求∠bdc的度數。
例4.如圖，在△abc中，e是ac延長線上的一點，d是bc上的一點，下面的命題正確嗎？若正確，請說明理由。
⑴ ∠bde= ∠e ＋∠a ＋∠b
⑵ ∠bde＞∠a
例5.如圖，已知，在直角△abc中，∠c=90°，bd平分∠abc且交ac於d．
（1）若∠bac=30°，求證：ad=bd；（2）若ap平分∠bac且交bd於p，求∠bpa的度數．
【鞏固練習】
1. 在下列條件中：①∠a+∠b=∠c，②∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，
③∠a=900－∠b，
④∠a=∠b=∠c中，能確定△abc是直角三角形的條件有（ ）
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
2.如圖所示,若∠a=32°,∠b=45°,∠c=38°,則∠dfe等於( )
a.120° b.115° c.110° d.105°
3.△abc中，∠b內角平分線和∠c外角平分線交於一點a，∠abc與∠acd的平分線交於a，繼續作∠abc與∠acd
的平分線可得∠a，如此下去可得∠a…，
∠a，當∠a = 64°時，∠a的度數為（ ）
a、8° b、16° c、32° d、4
4．在△abc中
①若∠c=55°，∠b-∠a=10° 則∠ab
②若∠b-∠a=50°+∠c 則∠b
5．圖中bc、ad交於點o，∠a=∠c=90°，∠b=25°，則∠d
6．ad為∠cae的平分線，∠b=35°，∠dae=60°，則∠acd
7．已知：b、c、d在一條直線上，∠acd=105°，，則∠a
8．已知：∠a=50°，∠abd=28°，∠aco=32°，則∠bdcboc
10.如圖，在直角三角形abc中，∠bac=90°，作bc邊上的高ad，圖**現多少個直角三角形？又作△abd中ab邊上的高dd1，這時，圖中共出現多少個直角三角形？
按照同樣的方法作下去，作出d1d2，d2d3，…，當作出dn-1dn時，圖中共出現多少個直角三角形？
11.如圖，ad是bc邊上的高，ae平分∠bac，∠b＝75°，∠c＝45°，求∠dae的度數。
12.角形abc的三個內角平分線交於點i，ih⊥bc於h，試比較∠cih和∠bid的大小.
13.（1）已知△ab中c，bo、co分別是∠abc、∠acb的平分線，且bo、co相交於點o，試探索∠boc與∠a之間是否有固定不變的數量關係。
（2）已知bo、co分別是△abc的∠abc、∠acb的外角角平分線，bo、co相交於o，試探索∠boc與∠a之間是否有固定不變的數量關係。
（3）已知：bd為△abc的角平分線，co為△abc的外角平分線，它與bo的延長線交於點o，試探索∠boc與∠a的數量關係。
三角形內角和
三角形內角和 的教學設計 教學內容 人教課標版小學四年級數學 三角形的內角和 教學目標 1 知識與能力 通過量 剪 拼等活動，經歷 猜想 驗證 結論 應用 的 過程，推理歸納出 三角形的內角和是180 並能較好地運用所學知識解決實際問題。2 過程與方法 通過把三角形的三個內角拼成乙個平角的驗證過程，...
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教學目標 1 通過操作活動探索發現和驗證 三角形的內角和是180度 的規律。2 在操作活動中，培養學生的合作能力 動手實踐能力，發展學生的空間觀念。並運用新知識解決問題。3.使學生有科學實驗態度，激發學生主動學習數學的興趣，體驗數學學習成功的喜悅。教學重點 發現和驗證 三角形的內角和180度 這一規...
第七章《三角形》小結與複習
一 基礎知識梳理 1 三角形中的主要線段指它們都有條，並且它們或它們所在直線會 2 銳角三角形的三條高都在鈍角三角形有條高在三角形外，直角三角形有兩條高恰是它的 3 三角形三邊的關係 4 三角形具有性，四邊形不具有性。5叫正多邊形。6 n邊形的內角和等於 外角和為 7 從n邊形的乙個頂點出發可以引條...