一、三角形的定義
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；
如右圖表示為△abc；
三角形特徵注意點：
一是三條線段，二是三條線段不在同一直線上，三是三條線段首尾相聯；
1． 三角形的有關概念及表示法：
（1） 頂點：三角形兩邊的公共點（如右圖點a、b、c），即為三角形的三個頂點；
（2） 邊：組成三角形的三和線段（如右圖的a,b,c），即為三角形的三個邊；
（3） 內角：三角形中，相鄰兩邊所組成的角（如右圖∠a,∠b,∠c,叫三角形的內角；
2.注意點：
（1）三角形的表示法與三頂點的位置無關，即△abc、△bac、△cab表示的都是同乙個三角形，要注意在讓寫出共有多少個三角形這樣的題中，不能出來這樣的重複，這樣只能表示乙個三角形；
（2）三角形的角與對應的邊有一一對應關係，如圖∠a對邊是a, ∠b對邊是b, ∠c對邊是c;
（3）三角形位置關係有夾邊夾角之說，邊a、b的夾角是∠b，∠b和∠c的夾邊是a；
二、三角形的分類
1．按角分類
三角形直角三角形
斜三角形銳角三角形
鈍角三角形
2．按邊分類
三角形不等邊三角形
等腰三角形等邊三角形
腰和底邊不相等三角形
注意點：
（1）三角形中，三個內角都是銳角的是銳角三角形；有乙個內角是直角的是直角三角形，有乙個角是鈍角的是鈍角三角形；
（2）三條邊都不相等的三角形叫不等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形，等邊三角形是等腰三角形的特例；
三、三角形三邊的關係
（1）定理：三角形兩邊的和大於第三邊；
（2）推論：三角形兩邊的差小於第三邊（a-b注意點：
（1）三角形是任意兩邊和都大於第三邊，反過來說只要有兩邊和大於第三邊就可組成三角形是不一定成立的；（7，5，2，7+2>5，但是2+5=7,不能組成三角形）；
具體應用時，只要能有兩個較短邊之和大於最長邊即可組成三角形；
（2）三角形三邊關係定理和推論是判定三角形能否成立的依據；
四、三角形的三線（重點）
（1）角平分線：三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線；
幾何表示：∠1=∠2=∠bac；
注意點：
1． 乙個三角形有三條角平分線，並且都在三角形內部，相交於一點，交點叫三角形的內心。
2． 三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線。
（2）三角形的中線：在三角形中，鏈結乙個頂點和它所對的邊的中點的線段叫做三角形的中線；
幾何表示：bd=cd=∠bc；
注意點：
1． 乙個三角形有三條中線，並且都在三角形內部，相交於一點，交點叫三角形的重心；
2． 三角形的中線是一條線段；
3． 三角形的一條中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形，即s△abd=s△adc；
4． △abc的中線ad，又稱為bc邊上的中線ad，其餘說法相同；
5． 三角形的重心把中線分為1：2兩部分（重心到頂點距離佔2份，重心到對邊中點距離佔1份）。
如右圖：ao=2od；co=2of；bo=2oe；
（3）三角形的高：從三角形的乙個頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
注意點：
1． 三角形邊上的高是線段，而該邊的垂線是直線。
2． 三角形的三條高交於一點叫做三角形的垂心。
3． 銳角三角形的三條高在其內部，三條高的交點在三角形內部；直角三角形的兩條直角邊互為高，因而可作的僅有一條高，三條高的交點在直角三角形的頂點處；鈍角三角形則只有兩條高在三角形的外部，三條高的延長線的交點在三角形的外部。
4． 畫鈍角三角形兩邊的高時，第一步要延長邊，然後再畫垂線段。
銳角、直角、鈍角三角形的高的畫法見右圖。
五、三角形的穩定性
如果三角形的三條邊固定，那麼三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個特徵，叫做三角形的穩定性。
注意點：
1． 要看圖形是否具有穩定性，關鍵在於它的結構是不是三角形的結構。
2． 除了三角形外，其他圖形不具備穩定性，因此在生產建設中，為達到穩固的目的，把一些構件都做成三角形結構。
六、三角形的內角和
三角形內角和定理：三角形內角的和等於180度；（重點，經常運用）
推論：直角三角形的兩個銳角互餘；
注意點：
1． 已知三角形內兩個角，利用三有形內角和定理可求第三個角，或已知各角之間的關係，利用三角形內角和定理可求各角；
2． 三角形內角和定理的證明是通過平等線將三角形的內角進行轉換。證明思路可從構造平角、構造鄰補角、構造同旁內角等幾方面進行思考；
3． 在直角三角形中，兩個銳角互餘。所以在已知直角三角形乙個銳角，求另乙個銳角時，我們可以利用推論直接求，而不必侷限於利用三角形內角和的性質來求解；
七、三角形的外角
三角形的一邊與邊一邊的反向延長線所組成的角叫三角形的外角。
如右圖，∠1是三角形abc以∠bac為鄰補角的乙個外角；∠2、∠3可同理推得；
性質1：三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和；
即∠1=∠abc+∠acb；∠2、∠3可同理推得；
性質2：三角形的乙個外角大於與它不相鄰的任何乙個內角。
∠1>∠abc, ∠1>∠acb;
注意點：
1． 三角形的外角有三個特徵：
a. 頂點在三角形的乙個頂點上；
b. 一條邊是三角形的一邊；
c. 另一條邊是三角形另一條邊的延長線；
2． 根據外角的定義，乙個三角形中某個有可以有兩個外角，這兩個外角還互為對頂角，所以乙個三角表有六個外角。
3． 在應用三角形外角的性質及內角和定理時，一定要注意外角和它不相鄰的內角關係，外角和它相鄰的內角是互補關係。
4． 要證明角的不等關係，常常要用到外角的性質2；
5． 三角形的外角和，三角形的每乙個角相鄰的乙個外角的和為三角形的外角和；
如圖：∠1+∠2+∠3是三角形的外角和，等於360度，同理任意多邊形的外角和都是360度；
一、 多邊形的定義
在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形；
如果乙個多邊形由n條線段組成，那麼這個多邊形就叫做n邊形；
注意點：
1． 多邊形是由同一平面內若干條不在同一直線上的線段組成的。
2． 多邊形是平面內的一些線段首尾順次相連形成的封閉圖形。
3． 多邊形的邊數、頂點數及角的個數相等；
二、 多邊形的組成要素：
（1） 多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊；
（2） 多邊形的頂點：每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點；
（3） 多邊形的對角線：在多邊形中，鏈結不相鄰兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線；
（4） 多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內部的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角；
注意點：
多邊形的邊、頂點、內有的含義與三角形的相同，可以通過三角形的定義理解多邊形定義。
三、 多邊形的外角：
多邊形的一邊和它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角；
注意點：
1． 乙個多邊形的某個角可以有兩個外角，所以n邊形有2n個外角；
2． 多邊形的外角與不相鄰的內角的關係與三角形的不同，沒有三角形的那種外角等於不相鄰兩個內角和的等式關係。
3． 多邊形的外角和，是指每個頂點的1個外角相加的總和，n邊形也就是n個外角相加；n邊形的外角和等於360度；
四、 多邊形的對角線
鏈結多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
注意點：
1． 多邊形的對角線的條數：從n邊形的乙個頂點，可以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個三角形，n邊形共有條對角線；
2． 三角形沒有對角線；
3． 把多邊形轉化成三角形求解的常用方法是鏈結對角線；
五、 正多邊形
各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形；
注意點：
1． 正多邊形必須同時滿足兩個條件，（1）各邊都相等；（2）各內角都相等；
2． 多邊形的各邊都相等，它不一定是正多邊形；多邊形的各角都相等，也不一定是正多邊形，必須兩者全具備才是正多邊形；
六、 凸多邊形
多邊形分為凸多邊形和凹多邊形；（如右下圖，（1）為凸多邊形，（2）為凹多邊形；
（1）如果多邊形每條邊所在的直線，多邊形都在它的同側，則叫凸多邊形；
（2）如果多邊形，只要有一條邊所在的直線，多邊形不都在它的同側目而視，則叫凹多邊形；
注意點：
1． 組成凸多邊形的每乙個內角都大於0度且小於180度；
2． 凹多邊形至少有乙個內角大於180度；
3． 現階段我們一般研究的都是凸多邊形；
七、 多邊形的內角和定理
n邊形的內角和等於（n-2）*180°
注意點：
多邊形內角和定理的證明方法：
1． 在多邊形內任取一點，並把這個點與各頂點鏈結起來，共構成n個三角形，這n個三角形的內角和為了n*180°，再減去乙個周角，即得到多邊形的內角和為（n-2）*180°；
2． 過n 邊形的乙個頂點連對角線，可以得（n-3）條對角線，並且將n邊形分成（n-2）個三角形，這（n-2）個三角形的內角和恰好是多邊形的內角和，等於（n-2）*180°；
3． 在n邊形的一邊上取一點與各頂點相連，得（n-1）個三角形，n 邊形內角和等於這（n-1）個三角形的內角和減去在所取的一點處的乙個平角，即（n-1）*180°-180°=（n-2）*180°;
八、 多邊形外角和定理
多邊形的外角和等於360°
注意點：
1． 多邊形外角和定理的證明方法：
（1）多邊形的內角和與它相鄰的外角是鄰補角，所以n邊形內角和等於n*180°,外角和等於n*180°-(n-2)*180°=360°,;
（2） 過平面內一點o分別作與多邊形各邊平行的射線oa』,ob』oc』,od』oe』等，得到其中，∠α=∠1，∠β=∠1，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5,…
恰好組成乙個周角，所以多邊形的外角和等於360°。
2． 多邊形的外角和恆等於360°，與邊數的多少無關。
九、 鑲嵌
（1）定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，叫平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌；
（2）鑲嵌的成立條件：圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角的和等於360°；
（一）正多邊形鑲嵌
正多邊形無論什麼形狀，鑲嵌時，只能是邊與邊重合（即頂點不落在另乙個多邊形的邊上）。
（1） 用同一種正多邊形鑲嵌
三角形與特殊三角形知識點歸納
特殊三角形知識點 1.三角形中的主要線段 1 角平分線 三角形的乙個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的 頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線 2 中線 鏈結三角形的乙個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線 3 高 從三角形的乙個頂點向它的對邊 或其延長線 引垂線，頂點和垂足間的線段叫做三...
第七章三角形的內角和 三
知識點一.三角形的內角和外角 1 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180 證明思路 通過新增輔助線，把三角形三個分散的角，全部或適當地集中起來，利用平角定義或兩直線平行，同旁內角互補來證明。下面是幾種輔助線的添置方法，請同學們自己分析證明。1 作bc的延長線cd，在 abc的外部，以ca為一...
解三角形知識點歸納
判斷三角形形狀的方法 1 將已知式所有的邊和角轉化為邊邊關係，通過因式分解 配方等得出邊的相應關係，從而判斷三角形的形狀。2 將已知式所有的邊和角轉化為內角三角函式間的關係，通過三角恒等變形，得出內角的關係，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用a b c 這個結論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊...