題目：已知三角函式值求角學案編號：201423
學習目標：1.會由已知三角函式值求角；
2.了解反正弦、反余弦、反正切的意義，並會用符號，，表示角。
重點難點：重點:已知三角函式值求角。
難點：用符號，，表示所求的角。
知識鏈結：1.前面我們曾經學過反函式的概念，你還記得嗎？想一下什麼樣地函式具有反函式？
2.三角函式的誘導公式。
學習過程：
一、 課內**
問題一.反三角的概念
1.一般地，對於正弦函式，如果已知函式值，那麼在上有唯一的值和它對應，記為其中）。
2.一般地，對於余弦函式，如果已知函式值，那麼在上有唯一的值和它對應，記為其中）。
3.一般地，對於正切函式，如果已知函式值，那麼在內有唯一的值和它對應，記為其中）。
問題二. 如何依據三角函式值的絕對值求對應銳角及[0,2π)內的角？
已知乙個角的某三角函式值求角的步驟：
第一步，由值的符號判斷角所在的象限(或軸線角)．
第二步，取絕對值，求出對應於該絕對值的銳角α1.
第三步，求[0,2π)內的角α2，
第一象限α2＝α1；第二象限α2＝π－α1；第三象限α2＝π＋α1；第四象限α2＝－α1或2π－α1.
第四步，寫出終邊相同的角α，α＝2kπ＋α2(k∈z)．
第五步，如果已知角在某個範圍內，再解不等式或取k的值求出相應的角，如果值為字母應討論．
二、典例剖析
例1：已知sinα＝，求分別滿足下列條件的角α.
(1)α∈；
(2)α∈[0,2π)，求角α的集合．
跟蹤訓練1：
(1)已知，求x
(2)已知，求x
(3)已知，求x
例2：已知cosx＝－0.287，
(1)當x∈[0，π)時，求x；
(2)當x∈r，求x的取值集合．
跟蹤訓練2：已知cosα＝a(－1≤a≤1)，求角α.
例3 已知tanx＝－2，x∈[－π，π]，求角x.
跟蹤訓練3：已知tanα＝m(m∈r)，α∈，求角α.
三、小結反思
四、當堂檢測
1．若cosx＝0，則角x為( )
a．kπ，k∈z b．kπ＋，k∈z c．2kπ＋，k∈z d．2kπ－，k∈z
2. 在[0,2π)內滿足sinα＝－的角α的集合為( )
a. b. c. d.
3．下列各式中正確的是( )
a．arcsin(－)＝arccos b．arccos(－)＝arcsin
c．arctan(－1)＝arcsin(－1) d．arcsin(－)＋arccos＝0
4. 方程2cos＝1在區間(0，π)內的解是________．
5．若sin2x＝－，且0五．課後鞏固
1若α是三角形的乙個內角，且sinα＝，則α等於( )
a．30° ｂ．30°或150° ｃ．60° ｄ．120°或60
2若tanx＝0，則角x等於( )
a．ｋπ，（ｋ∈zz）
ｃ．＋2ｋπ，（ｋ∈z） ｄ．－＋2ｋπ，（ｋ∈z）
3已知cosx＝－，π＜x＜2π，則x等於( )
a4.滿足sin2x＝的x的集合是( )
a．｛x｜x＝ｋπ＋（－1）ｋ，ｋ∈z｝ｂ．｛x｜x＝2ｋπ±，ｋ∈z｝
ｃ．｛x｜x＝ｋπ＋，ｋ∈zx｜x＝＋，ｋ∈z｝
5滿足tanx＝的x的集合為
6若sinα＝sin，α∈r，則
7若tan（3π－x）＝－，則x
8．已知函式f(x)＝sin(2x＋)＋1，試求函式值為2時自變數x的取值集合．
六學習後記
學案參***：
例1：(1)∵sinα＝>0，α∈，
∴α是銳角． ∵sin＝，∴α＝.
(2)∵sinα＝>0， ∴α為第一或第二象限角，
由於sin＝，所以所求的銳角為α＝，第二象限角為π－＝，
∵α∈[0,2π)，∴角α的集合為.
跟蹤訓練1：解：（1）在上正弦函式是單調遞增的，且符合條件的角只有乙個， ∴（即）。
（2），是第一或第二象限角
即（）（3）x是第三或第四象限角
（即或）
例2 [解析] 因為cosx＝－0.287<0，所以先求出cosx＝|－0.287|＝0.287的銳角x1，即x1＝arccos 0.287.
(1)∵cosx＝－0.287<0，x∈[0，π]．
∴x是鈍角，x＝π－arccos0.287.
(2)當x∈r是，先求出x∈[0,2π]上的解，因為cosx＝－0.287，故x是第二或第三象限角．
∴x1＝π－arccos0.287，x2＝π＋arccos0.287.
所以，所求的x值的集合是：，即
跟蹤訓練2：解 (1)a＝－1時，角α的終邊落在x軸非正半軸上，此時α＝(2k＋1)π(k∈z)．
(2)a＝1時，角α終邊落在x軸非負半軸上，∴α＝2kπ(k∈z)．
(3)a＝0時，角α終邊落在y軸上，∴α＝kπ＋(k∈z)．
(4)－1首先滿足cosα1＝|a|的銳角α1＝arccos|a|＝arccos(－a)，在[0,2π)內對應的第
二、三象限角分別為π－arccos(－a)和π＋arccos(－a)，
∴α＝(2k＋1)π±arccos(－a)(k∈z)．
(5)0例3[解析] ∵tanx＝－2<0，∴角x終邊落在第
二、四象限．又滿足tanx1＝2的銳角x1＝arctan2.
∴在[0,2π)上，使tanx2＝－2的角x2＝π－arctan2或2π－arctan2.
∴x＝kπ－arctan2(k∈z)，
∵所求角x∈[－π，π]，∴k＝1或0，
∴x＝π－arctan2或－arctan2.
跟蹤訓練3：解：當m＝0時，tanα＝0，α∈，
∴α＝0.
當m>0時，tanα＝m，∴α∈，
∴α＝arctanm.
當m<0時，tanα＝m，∴α∈，
∴α＝arctanm.
當堂檢測：
2. c 4.π 5.或或或
課後鞏固：
1b 2a 3a 4d 5｛x｜x＝arctaｎ＋kπ，k∈z｝ 6，k∈z 7x＝＋kπ，k∈z
8.解： 函式值f(x)＝2，即(2x＋)＋1＝2.
所以sin(2x＋)＝. 將2x＋看作乙個整體，
由三角函式的圖象及其性質，
可得2x＋＝2kπ＋arcsin，或2x＋＝2kπ＋π－arcsin，k∈z，
即x＝kπ－＋arcsin或x＝kπ＋－arcsin，k∈z.
所以自變數x的取值集合為．
11已知三角函式值求角本章知識與方法總結
知識總結 2.知識綱要 1 角的概念推廣 正角 負角 零角 終邊相同的角 2 弧度制 一弧度角的定義 角度制與弧度制的換算 3 任意角三角函式的定義 三角函式定義 定義域 三角函式線 三角函式值在各個象限的符號.4 同角三角函式間的基本關係式 平方關係 商數關係 倒數關係.5 誘導公式，主要包括 2...
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