第十一講：數列的求和與通項
（4）（09湖北高考題）已知數列滿足：（m為正整數），若，則m所有可能的取值為
解：由或或或或，所以填
例題6.在數列中，，，．
（ⅰ）證明數列是等比數列；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．
（ⅰ）證明：由題設，得
，．又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知，於是數列的通項公式為：．
所以數列的前項和．
（ⅲ）證明：對任意的，
．所以不等式，對任意皆成立．
例7．（09上海高考題）.已知函式。項數為27的等差數列滿足且公差,若，則當k時， 。
解：由，可知函式為奇函式，且在為增函式。又是項數為27的等差數列，假設，則，則，由為增函式，有，又，，
同理由此可得：，與已知矛盾；
同樣可得，也不成立，所以，由為奇函式，則可得
評價：本題綜合了函式、數列的性質。對於此類問題需要深刻挖掘出函式的性質，然後從性質出發進行解題判斷。要迴避代入到具體函式中去推理運算，這樣會導致式子比較複雜，變形受阻。
例題8. 已知有窮數列共有2項（整數≥2），首項＝2．設該數列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數＞1．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若＝2，數列滿足＝（＝1，2，┅，2），求數列的通項公式；
（3）若（2）中的數列滿足不等式4，求的值．
證明：（1）當n=1時,a2=2a,則=a； 2≤n≤2k－1時, an+1=(a－1) sn+2, an=(a－1) sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴=a, 驗證首項，
∴數列是等比數列.
(2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn= (n=1,2,…,2k).
（3）設bn≤,解得n≤k+,又n是正整數,於是當n≤k時, bn<；
當n≥k+1時, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==. 當≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.
例9：是否存在等差數列，使得對於一切正整數都有成立，其中為數列的前項和。
解：假設存在等差數列，使，分別取得
由（1）得
1）當若
若故所得數列不符合題意.
2)當代入得或,
若則從而成立,
若,則,從而成立.
綜合上述，共有3個滿足條件的等差數列：
解法2：
例題10、（09全國高考題）設數列的前項和為已知
（i）設，證明數列是等比數列
（ii）求數列的通項公式。
解：（i）由及，有
由，．．．① 則當時，有．．．．．②
①－②得
又， 是首項，公比為２的等比數列．
（ii）由（i）可得，
數列是首項為，公差為的等差數列．
，評析：第（i）問思路明確，只需利用已知條件尋找．
第（ii）問中由（i）易得，這個遞推式明顯是乙個構造新數列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．
例11．（09上海高考題）已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列
（1）若，是否存在，有？請說明理由；
（2）若（a、q為常數，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和是數列中的一項，請證明.
解：（1）由得，整理後，可得
、，為整數，不存在、，使等式成立。
（2）當時，則，即，其中是大於等於的整數，反之當時，其中是大於等於的整數，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大於等於的整數
（3）設（）
當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，
∴當為偶數時，式不成立。
由式得，整理得
當時，符合題意。
當，為奇數時，
由，得當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。
當為奇數時，命題都成立。
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