典例精析
題型一歸納、猜想法求數列通項
【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的乙個通項公式
7，77，777，7777，…
1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：將數列變形為，
分開觀察，正負號由確定，分子是偶數2，分母是，，， ，故數列的通項公式可寫成
將已知數列變為1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得數列的通項公式為
點撥：聯想與轉換是由已知認識未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規律，從而求得通項。
題型二應用求數列通項
例2．已知數列的前項和，分別求其通項公式.
解析：當，
當又不適合上式，故(2)
所以所以
又，可知為等差數列，公差為4
所以也適合上式，故
點撥：本例的關鍵是應用求數列的通項，特別要注意驗證的值是否滿足的一般性通項公式。
三、利用遞推關係求數列的通項
【例3】根據下列各個數列的首項和遞推關係，求其通項公式
(2) ，
解析：因為，所以
所以…，…，
以上個式相加得
即：方法一、
又可化為
方法二：∵
=…方法三：
點撥：在遞推關係中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定係數法或迭代法。
數學門診
已知是數列的前項和，且滿足，其中，又，求數列的通項公式。
錯解：當時，由已知得
又，所以
於是兩式相減得，
，即於是所以兩式相減得
所以成等差數列，公差為6，也成等差數列，公差為6，從而成等差數列，公差為6，
所以，正解：當時，由已知得又，
所以於是，兩式相減得：，即
於是，所以，又
又，所以
則時4.設從這三個整數中取值的數列，若且則中有0的個數為11
解：設有個0，則由有+2(+…+ +50=107,
.所以在中有39個1或-1，
所以在有個。
5.已知數列滿足
，證明：
解：(1)∵∴ .
證明：由已知有
6.已知數列中，試問取何值時，取最大值？並求此最大值．
解：因為
當且僅當時，
所以當時 ，即
即當時，
即故當或8時，最大，
1． 若數列滿足：，
，則的值為（ ｂ ）
解：，由此猜想：
所以，選ｂ
二、填空題
5．已知數列的前項和則
6．已知數列中，，,65
解:7．已知數列的通項（），則數列的前30項中最大項和最小項分別是
解：建構函式
由函式性質可知，函式在上遞減，且
函式在上遞增且
三、解答題
8．已知中，，前項和與的關係是，求
解：由得
9．在數列中，（）為前項和.求證：是以3為週期的週期函式
求10．設數列的前項和為，點，
（）均在函式的影象上，求數列的通項公式
設是數列的前前項和，求使得對所有都成立的最小正整數。
解：依題意得：
由得：成立，
當且僅當
故滿足要求的
4．計算機執行以下程式：
初始值，則進行，否則從繼續進行
列印停止
那麼，語句列印出的數值為89
解：由題意知，程式每執行一次所得的值形成乙個數列是等差數列，且首項為5，公差為2，相應的值恰為該數列的前項和，根據題意得：
解得 所以
5．設，分別為等差數列與的前項和
解：典例精析
一、等差數列的判定與基本運算
例1：已知數列前項和
求證：為等差數列；記數列的前項和為，求的表示式。
數列中，是前項和，當時，求證：是等差數列，
設，求的前項和
解：：證明： =1時，，
當時，也適合該式，∴（）
的表示式為：
：證明：當時，
所以是以為首項，2為公差的等差數列。
：由得所以
所以點撥：根據定義法判斷數列為等差數列，靈活運用求和公式。
二、公式的應用
例2：設等差數列的首項及公差都為整數，前項和為
若，求數列的通項公式
若，求所有可能的數列的通項公式
解： 所以數列的通項公式是：
由+得所以=11或=12
故所有可能的數的通項公式是：
（）點撥：準確靈活運用等差數列的通項公式及前項和公式，提高運算能力。
三、性質的應用
例3：已知等差數列中，公差》0前項和為，且滿足：，
求數列的通項公式；
設，乙個新數列，若也是等差數列，求非零常數；
求（）的最大值
解：為等差數列， =14
∴數列的通項公式為
由知：因為為等差數列，所以成等差數列，所以
故所求非零常數
的最大值：
點撥：利用等差數列的「等和性」求出，，從而求出及通項公式；
先求出的表示式，再由是等差數列列出關於的方程，解出
可利用函式思想，求出的最大值。
數學門診
若數列是等差數列，數列滿足
（），的前項和為，已知，試問為何值時，取得最大值？並證明你的結論。
錯解：因為，
可知是首項為正數的遞減數列。
正解：總結提高
1．在熟練應用基本公式的同時，還要會用變通的公式，如在等差數列中，
２．在五個量中的三個量可求出其餘兩個量，要求選用公式要恰當，即善於減少運算量，達到快速、準確的目的。
33．已知三個或四個數成等差數列這類問題，要善於設元，目的仍在於減少運算量，如三個數成等差數列時，除了設外，還可設；四個數成等差數列時，可設為
4．在求解數列問題時，要注意函式思想，方程思想，消元及整體消元的方法的應用。
課堂演練
1．設是等差數列的前項和，若（ a ）
a解：２．在等差數列中， 則等於（ b ）
a．40 ｂ．42 ｃ．43 ｄ．45
解： 3．等差數列中，，則前10或11項的和最大。
解： ∴為遞減等差數列∴為最大。
4．已知等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為－110
解：∵ 成等差數列，公差為d其首項為
，前10項的和為
５．某漁業公司今年初用98萬元購進一艘漁船用於捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起包括維修費在內每年所需費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元，問捕撈幾年後總盈利最大，最大是多少？
解：設捕撈年後的總盈利為萬元，則
答：捕撈10年後總盈利最大，最大是102萬元。
６．設等差數列的前項和為，已知
求出公差的範圍，
指出中哪乙個值最大，並說明理由。
解：課外練習
一、 選擇題
1． 已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等於( d )
2． 已知等差數列的前項和為，等差數列的前項和為，且
，則使為整數的所有的值的個數有（ c ）
a．2個 b．3個 c．4個 d．5個
解： =
要使為整數只需12能被+2整除，
故=1，2，4，10，選c
3． 設等差數列的前項和為，若
等於( b )
a．63 b．45 c．36 d．27
解：成等差數列
4． 已知等差數列中，等於（ a ）
a．15 b．30 c．31 d．64
5． 設f是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同點
組成公差為的等差數列，則的取值範圍為
解：橢圓的焦點f到橢圓上的點最大、最小距離分別為，由題意得：
三、解答題
6． 等差數列的前項和記為，已知
求通項；若=242，求
解： 由， =242
7． 甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2，以後每分鐘比前一分鐘多走1，乙每分鐘走5，甲、乙開始運動後幾分鐘相遇？如果甲乙到對方起點後立即折返，甲繼續每分鐘比前一分鐘多走1，乙繼續每分鐘走5，那麼，開始運動幾分鐘後第二次相遇？
解：設分鐘後第一次相遇，依題意有：
故第一次相遇是在開始運動後7分鐘。
設分鐘後第二次相遇，則：
故第二次相遇是在開始運動後15分鐘
10．已知數列中，前和
求證：數列是等差數列
求數列的通項公式
設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。
解：∵∴數列為等差數列。
要使得對一切正整數恆成立，只要≥，所以存在實數使得對一切正整數
都成立，的最小值為。
例1：設首項為，公比為的等比數列的前項和為80，前2項的和為6560，求此數列的首項與公比。
設數列的首項，且
求 判斷數列是否為等比數列，並證明你的結論。
解：∵顯然≠1∴
兩式相除，得
將代入得=－1
由得=2， =3
∵猜想：是等比數列，公比為。
證明如下：∵
即：，∴是首項為，公比為的等比數列。
點撥：運用等比數列的基本公式，將已知條件轉化為關於等比數列的特徵量，的方程是求解等比數列問題的常用方法之一，同時應注意在使用等比數列前項和公式時，應充分討**比是否等於1；
應用定義判斷數列是否是等比數列是最直接，最有依據的方法，也是通法，若判斷乙個數列是等比數列可用恆成立，也可用恆成立，若判定乙個數不是等比數列則只需舉出反例即可，也可以用反證法。
二、性質運用
例2：在等比數列中， 求，若
在等比數列中，若，則有等式
成立，模擬上述性質，相應的在等比數列中，若則有等式成立。
解： 由等比數列的性質可知：
由等比數列的性質可知，是等差數列，因為
由題設可知，如果在等差數列中有
成立，我們知道，如果，而對於等比數列，則有所以可以得出結論，若
成立，在本題中
點撥：歷年高考對性質考查較多，主要是利用「等積性」，題目「小而巧」且背景不斷更新，要熟練掌握。
三、綜合運用
例3：已知在函式的影象上，
證明數列是等比數列，
設，求及數列的題項公式，
記，求數列的前項和，並證明：
解：由已知，
所以，數列是公比為2的等比數列。
:由知因為，
點撥：本例複習了數列中的有關知識，以函式為起點，得到數列的遞推關係，構造新數列進行解答，求和過程中體現了裂項求和法，這是數列中的經典方法，屬於應掌握好的知識。
數學門診：
已知等差數列的首項=1，公差》0，且第2項，第5項，第14項分別是等比數列的第2項，第3項，第4項。
求數列與的通項公式；
設數列對均有
解：由已知有：
錯解：正解：
點撥：本題易出現求得通項為的錯誤結論，也導致求和出現問題，因此條件≥2千萬不能忽視。
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數列本章重點 數列的概念，等差數列，等比數列的定義，通項公式和前項和公式及運用，等差數列 等比數列的有關性質。注重提煉一些重要的思想和方法，如 觀察法 累加法 累乘法 待定係數法 倒序相加求和法 錯位相減求和法 裂項相消求和法 函式與方程思想 分類與討論思想 化歸與轉化思想等。知識網路 一 數列 一...