第一課時數列
四、數列通項與前項和的關係
1． 2．
課前熱身
3．數列的通項公式為,則數列各項中最小項是( b )
a．第４項 b．第５項 c．第６項 d．第７項
4．已知數列是遞增數列，其通項公式為,則實數的取值範圍是
5．數列的前項和,，則
題型一歸納、猜想法求數列通項
【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的乙個通項公式
7，77，777，7777，…
1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：將數列變形為，
將已知數列變為1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得數列的通項公式為
點撥：本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規律，從而求得通項。
題型二應用求數列通項
例2．已知數列的前項和，分別求其通項公式.
解析：當，
當又不適合上式，故
三、利用遞推關係求數列的通項
【例3】根據下列各個數列的首項和遞推關係，求其通項公式
解析：因為，所以
所以…，…，
以上個式相加得
即：點撥：在遞推關係中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定係數法或迭代法。
課外練習
3設，()，則的大小關係是( c )
a． b．
c． d．不能確定
解：因為
所以，選ｃ．
二、填空題
5．已知數列的前項和則
7．已知數列的通項（），則數列的前30項中最大項和最小項分別是
解：建構函式
由函式性質可知，函式在上遞減，且
函式在上遞增且
三、解答題
6.2等差數列
知識要點
2．遞推關係與通項公式
是數列成等差數列的充要條件。
３．等差中項：
若成等差數列，則稱的等差中項，且；成等差數列是的充要條件。
４．前項和公式
； 是數列成等差數列的充要條件。
5．等差數列的基本性質
反之，不成立。
仍成等差數列。
６．判斷或證明乙個數列是等差數列的方法：
定義法：
是等差數列
中項法：
是等差數列
通項公式法：
是等差數列
前項和公式法：
是等差數列
課前熱身
2．等差數列中，
a．14 b．15 c．16 d．17
。3．等差數列中，，則前10或11項的和最大。
解： ∴為遞減等差數列∴為最大。
4．已知等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為－110
解：∵ 成等差數列，公差為d其首項為
，前10項的和為
６．設等差數列的前項和為，已知
求出公差的範圍，
指出中哪乙個值最大，並說明理由。
解：課外練習
一、 選擇題
1． 已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等於( d )
2． 已知等差數列中，等於（ a ）
a．15 b．30 c．31 d．64
二、填空題
3． 設為等差數列的前項和， =54
4． 已知等差數列的前項和為，若
5． 設f是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同點
組成公差為的等差數列，則的取值範圍為
解：橢圓的焦點f到橢圓上的點最大、最小距離分別為，由題意得：
三、解答題
6． 等差數列的前項和記為，已知
求通項；若=242，求
解： 由， =242
7． 甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2，以後每分鐘比前一分鐘多走1，乙每分鐘走5，甲、乙開始運動後幾分鐘相遇？如果甲乙到對方起點後立即折返，甲繼續每分鐘比前一分鐘多走1，乙繼續每分鐘走5，那麼，開始運動幾分鐘後第二次相遇？
解：設分鐘後第一次相遇，依題意有：
故第一次相遇是在開始運動後7分鐘。
設分鐘後第二次相遇，則：
故第二次相遇是在開始運動後15分鐘
10．已知數列中，前和
求證：數列是等差數列
求數列的通項公式
設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。
解：∵∴數列為等差數列。
要使得對一切正整數恆成立，只要≥，所以存在實數使得對一切正整數
都成立，的最小值為。
6.3等比數列
知識要點
1． 定義：如果乙個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，記為。
2． 遞推關係與通項公式
3． 等比中項：若三個數成等比數列，則稱為的等比中項，且為是成等比數列的必要而不充分條件。
4． 前項和公式
5． 等比數列的基本性質，
反之不真！
為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列。
仍成等比數列。
6． 等比數列與等比數列的轉化
是等差數列是等比數列；
是正項等比數列是等差數列；
既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列。
7． 等比數列的判定法
定義法： 為等比數列；
中項法： 為等比數列；
通項公式法： 為等比數列；前項和法： 為等比數列。
1． 2． 已知數列是等比數列，且70 （問題引入）
猜想：是等比數列，公比為。
證明如下：∵
即：，∴是首項為，公比為的等比數列。
二、性質運用
例2：在等比數列中， 求，若
在等比數列中，若，則有等式
成立，模擬上述性質，相應的在等比數列中，若則有等式成立。
解： 由等比數列的性質可知：
由等比數列的性質可知，是等差數列，因為
由題設可知，如果在等差數列中有
成立，我們知道，如果，而對於等比數列，則有所以可以得出結論，若
成立，在本題中
點撥：歷年高考對性質考查較多，主要是利用「等積性」，題目「小而巧」且背景不斷更新，要熟練掌握。
典例精析
一、 錯位相減法求和
例1：求和：
解：由－得：
點撥：若數列是等差數列，是等比數列，則求數列的前項和時，可採用錯位相減法；
當等比數列公比為字母時，應對字母是否為1進行討論；
當將與相減合併同類項時，注意錯位及未合併項的正負號。
二、 裂項相消法求和
例2：數列滿足=8， （）
求數列的通項公式；
則所以， =8＋（－1）×（－2）＝―10－2
對一切恆成立。
故的最大整數值為5。
點撥：若數列的通項能轉化為的形式，常採用裂項相消法求和。
使用裂項消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項。
三、 奇偶分析法求和
例3：設二次函式
1． 在等差數列中， =1，前項和滿足
求數列的通項公式
記，求數列的前項和。
解：設數列的公差為，由
所以=由，有
所以 －得
課外練習
1． 數列的前項和為，若等於（ b ）
４．的定義域為，且是以2為週期的週期函式，數列是首項為，公差為1的等差數列，那麼的值為（ c ）
a．－1 b．1 c．0 d．10
解：因為函式的定義域為，且是以2為週期的週期函式，
所以又數列是首項為，公差為1的等差數列
故原式=0，選c。
二、填空題
５．設等比數列的公比與前項和分別為和，且≠1，
6．數列滿足
，則數列的前項和為
=）７．數列的前100項的和為。（）
典例精析
一、選擇題
1.（2009廣東卷理）已知等比數列滿足，且，則當時
abcd.
【解析】由得，，則， ，選c
答案 c
2.（2009遼寧卷理）設等比數列的前n 項和為 ，若 =3 ，則
a. 2 b. cd.3
【解析】設公比為q ,則＝1＋q3＝3 q3＝2
於是【答案】b
高中數列知識大總結絕對全
典例精析 題型一歸納 猜想法求數列通項 例1 根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的乙個通項公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9 解析 將數列變形為，分開觀察，正負號由確定，分子是偶數2，分母是，故數列的通項公式可寫成 將已知數列變為1 0，2 1，3 0，4 1，5 ...
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高中數列知識彙總
數列本章重點 數列的概念，等差數列，等比數列的定義，通項公式和前項和公式及運用，等差數列 等比數列的有關性質。注重提煉一些重要的思想和方法，如 觀察法 累加法 累乘法 待定係數法 倒序相加求和法 錯位相減求和法 裂項相消求和法 函式與方程思想 分類與討論思想 化歸與轉化思想等。知識網路 一 數列 一...