第三十六講直接證明與間接證明
班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內．)
1．命題「對於任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ」的證明：「cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ」過程應用了( )
a．分析法
b．綜合法
c．綜合法、分析法綜合使用
d．間接證明法
解析：因為證明過程是「從左往右」，即由條件結論．
故選b.
答案：b
2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，試證：「數列對任意的正整數n，都滿足xn>xn＋1，」當此題用反證法否定結論時應為( )
a．對任意的正整數n，有xn＝xn＋1
b．存在正整數n，使xn≤xn＋1
c．存在正整數n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1
d．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：根據全稱命題的否定，是特稱命題，即「數列對任意的正整數n，都滿足xn>xn＋1」的否定為「存在正整數n，使xn≤xn＋1」，故選b.
答案：b
3．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明( )
a．2ab－1－a2b2≤0
b．a2＋b2－1－≤0
c.－1－a2b2≤0
d．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0，故選d.
答案：d
4．已知a、b是非零實數，且a>b，則下列不等式中成立的是( )
a. <1b．a2>b2
c．|a＋b|>|a－bd. >
解析： <1<0a(a－b)>0.
∵a>b，∴a－b>0.而a可能大於0，也可能小於0，
因此a(a－b)>0不一定成立，即a不一定成立；
a2>b2(a－b)(a＋b)>0，
∵a－b>0，只有當a＋b>0時，a2>b2才成立，故b不一定成立；
|a＋b|>|a－b|(a＋b)2>(a－b)2ab>0，而ab<0也有可能，故c不一定成立；
由於》0(a－b)·a2b2>0.
∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有d正確．故選d.
答案：d
5．(2009·杭州市模擬)已知函式f(x)＝x，a，b∈(0，＋∞)，a＝f，b＝f()，c＝f，則a、b、c的大小關係為( )
a．a≤b≤cb．a≤c≤b
c．b≤c≤ad．c≤b≤a
解析：因為當a，b∈(0，＋∞)時，≥≥，且函式f(x)＝x，在r上為減函式，所以a≤b≤c，故選a.
答案：a
6．設0a．ab．b
c．cd．不能確定
解析：易得1＋x>2>.
∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又00.
∴1＋x<.
答案：c
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題後的橫線上．)
7．否定「任何三角形的外角都至少有兩個鈍角」其正確的反設應是________．
解析：本題為全稱命題，其否定為特稱命題．
答案：存在乙個三角形，它的外角至多有乙個鈍角
8．已知a，b是不相等的正數，x＝，y＝，則x，y的大小關係是________．
解析：y2＝()2＝a＋b＝>＝x2.
答案：x9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，則使得a＋b≥μ恆成立的μ的取值範圍是________．
解析：因為a＋b＝(a＋b)＝＋＋10≥16(當且僅當＝，即b＝3a時取等號)，a＋b≥μ恆成立μ≤(a＋b)min，
所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，
故0<μ≤16.
答案：(0,16]
10．(原創題)如果a＋b>a＋b，則a、b應滿足的條件是________．
解析：∵a＋b>a＋b(－)2·(＋)>0a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．已知a，b，c是不等正數，且abc＝1.
求證：＋＋<＋＋.
證明：∵a，b，c是不等正數，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.
12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.
求證：＋≤2.
證明：要證＋≤2.
只要證：a＋＋b＋＋2≤4，
∵由已知知a＋b＝1，
故只要證：≤1，
只要證：(a＋)(b＋)≤1，
只要證：ab≤，
∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，
故原不等式成立．
13．(精選考題·浦東模擬)△abc的三個內角a，b，c成等差數列，a，b，c分別為三內角a，b，c的對邊．求證：＋＝.
解：要證明＋＝，只需證明＋＝3，只需證明＋＝1，只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需證明c2＋a2＝ac＋b2.
∵△abc的三個內角a，b，c成等差數列，∴b＝60°，
則餘弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命題成立，得證．
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