由中點想到的輔助線
在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那麼首先應該聯想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然後通過探索，找到解決問題的方法。
一、三角形的一條中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形
即如圖1，ad是δabc的中線，則sδabd=sδacd=sδabc（因為δabd與δacd是等底同高的）。
例1．如圖2，δabc中，ad是中線，延長ad到e，使de=ad，df是δdce的中線。已知δabc的面積為2，求：δcdf的面積。
二、由中點應想到利用三角形的中位線
例2．如圖3，在四邊形abcd中，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，ba、cd的延長線分別交ef的延長線g、h。求證：∠bge=∠che。
三、由中線應想到延長中線，使延長的部分等於中線長
例3．如圖4，已知δabc中，ab=5，ac=3，連bc上的中線ad=2，求bc的長。
例4．如圖5，已知δabc中，ad是∠bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：δabc是等腰三角形。
四、由直角三角形應想到它的斜邊中線的性質
例5．如圖6，已知梯形abcd中，ab//dc，ac⊥bc，ad⊥bd，求證：ac=bd。
五、由平分乙個角且與一條線垂直的線段，應想到該線段是某個等腰三角形的中線
例6．如圖7，δabc是等腰直角三角形，∠bac=90°，bd平分∠abc交ac於點d，ce垂直於bd，交bd的延長線於點e。求證：bd=2ce。
實戰演練：
● 截長補短
1．已知，如圖ad為△abc的角平分線，∠c=2∠b．求證：ab=ac+cd．
2．如圖，dc∥ab，∠bad和∠adc的平分線相交於e，過e的直線分別交dc、ab於c、b兩點．求證：ad=ab+dc．
● 倍長中線
3．如圖，已知ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ae=ef．求證：ac=bf．
● 運用幾何變換（平移、翻摺、旋轉）構造全等三角形
4．如圖，p為△abc的外角平分線上任一點．
求證：pb+pc≥ab+ac．
5．已知：如圖，ab=ac，e為ab上一點，f是ac延長線上一點，且ef交bc於點d，d為ef的中點．求證：be=cf．
6．△abc中，ab=ac=bc，△dcb中，dc=db，∠bdc=120°，e、f分別為ab、ac上的點，∠edf=．求證：ef=be+cf
7．如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，
（1）若∠b=∠d=90°，e、f分別是bc、cd上的點，且∠eaf是∠bad的一半，求證：ef=be+fd；
（2）若∠b+∠d=180°，e是bc延長線上的點，f是cd延長線上的點，∠eaf仍然是∠bad的一半，則結論 ef=be+fd是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關係，並證明．
8．如圖，在等邊△abc的邊bc上任取一點d，作∠ade=60°，de交∠c的外角平分線於e，判斷△ade的形狀，並證明你的結論．
9．如圖，△abc中，∠abc=42°，d是bc邊上一點，dc=ab，且∠dab=27°．
（1）△abc是________三角形；
（2）證明你的結論。
10．如圖所示，求出圖中∠dca的度數是________．
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