九年級上第一章證明第一節你能證明嗎
第1課時
一、試題資料庫：
例1. （1）如果等腰三角形的兩邊分別為3和6，則周長為 。
（2）如果等腰三角形的兩邊分別為3和4，則周長為 。
解答：（1）如果等腰三角形的兩邊分別為3和6，則周長為 15 。
（2）如果等腰三角形的兩邊分別為3和4，則周長為 10或11 。
例2. 已知如圖ab＝ac，bd＝dc，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別是e、f，求證：de＝df。
證明：鏈結ad
∵ab＝ac，bd＝dc
∴ad平分∠bac
∵de⊥ab，df⊥ac
∴de＝df
例3. 已知：b、c、e在同一直線上，△abc、△dec是等邊三角形，bd交ac於q，ae交cd於p，求證：
（1）bd＝ae；
（2）△cpq是等邊三角形；
（3）pq∥bc。
分析：（1）證bd、ae所在的△bdc和△aec全等。
（2）可證cq＝pc，可通過證△cep與△cqd全等來證。
（3）由△pcq為等邊三角形可得∠qpc＝60°，可通過內錯角相等來證pq∥bc。
證明：（1）∵△abc，△dec為等邊三角形
∴∠acb＝∠dce＝60°
在△bcd和△ace中，
∴△bcd≌△ace（sas）
∴bd＝ae（全等三角形的對應邊相等）
（2）由（1）∠cdq＝∠cep（全等三角形的對應角相等）
∵∠bce＝180°
∴∠qcp＝180°－∠bca－∠dce＝180°－60°－60°＝60°
在△cdq和△cep中，
∴△cdq≌△cep（asa）
∴cq＝cp（全等三角形對應邊相等）
在△pcq中，∠pcq＝60°
∴△pcq為等邊三角形（有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）
（3）∵△cpq是等邊三角形
∴∠pqc＝60°（等邊三角形的每乙個角都是60°）
∴∠pqc＝∠bcq
∴pq∥bc（內錯角相等，兩直線平行）
例4. 如圖：ab＝ac，bc∥de，ad、ae分別交bc於點g、h，∠ade＝∠aed。
求證：bg＝ch
證明：∵bc∥de
∴∠1＝∠ade（兩直線平行，同位角相等）
同理，∠2＝∠aed
又∠ade＝∠aed
∴∠1＝∠2（等量代換）
∴ag＝ah（等角對等邊）
過點a作等腰三角形abc底邊的高線ao
∴bo＝co（等腰三角形底邊的高與底邊的中線重合）
∵ao⊥gh
∴go＝oh（同上）
∴bg＝ch（等量代換）
例5. 如圖abc為等邊三角形，d為cb的延長線上任一點，以ad為邊作等邊三角形ade，求證：∠abe＝∠ade。
證明：∵abc與ade均為等邊三角形。
∴ae＝ad，ab＝ac， ∠ead＝∠bac＝，
∴∠ead＋∠dab＝∠bac＋∠dab
即∠eab＝∠dac
∴∴∠abe＝∠c＝，
∴∠abe＝∠ade.
例6. 已知如圖在等邊三角形abc各邊上分別取d、e、f，使ad＝be＝cf，ae、bf、cd兩兩交於g、h、k三點，求證：ghk為等邊三角形。
證明：∵abc為等邊三角形
∴∠abc＝∠bcf＝
∵ab＝bc，be＝cf
∴∴∠bae＝∠cbf
∵∠abf＋∠cbf＝，
∴∠agh＝∠bae＋∠abf＝
同理：∠ghk＝∠hkg＝
∴∠agh＝∠ghk＝∠hkg
∴ghk是等邊三角形。
例7. 已知如圖在rtabc，∠c＝，，求證：ab。
證明：延長bc到d使得cd＝bc，鏈結ad
在acd和acb中
∴∴∠bac＝∠dac＝，ab＝ad，即∠dab＝
∴abd是等邊三角形
∴bd＝abcb＝bd
∴cb＝ab
例8. 已知abc中，ab＝ac，，ab的垂直平分線ef交ab於e交bc於f。求證：cf＝2bf。
證明：鏈結af
∵ef為ab的垂直平分線
∴bf＝afbaf＝
又∵ab＝ac
∴∴rtafc中，，af＝cf
又∵af＝bf，∴bf＝cf
∴cf＝2bf
拓廣探索（1.通常作頂角平分線、底邊中線、底邊高線）
例9. 已知：如圖ab＝ac，bd⊥ac於d，求證：。
證明：作∠bac的平分線ae， 交bc於e
則又∵ab＝ac， ∴ae⊥bc
∴∠2＋∠acb＝
∵bd⊥ac
∴∠dbc＋∠acb＝
∴∠2＝∠dbc， ∴
（2. 常延長一腰至等長，構造直角三角形解題）
例10. 已知如圖在abc中，ab＝ac， 在ba延長線上取ae＝af。求證：ef⊥bc。
證明：延長be至n，使an＝ab，鏈結cn，則ab＝an＝ac
∴∠b＝∠acb ∠acn＝∠anc∵∴
∴即∴nc⊥bc ∵ae＝af， ∴∠aef＝∠afe.
又∵∠bac＝∠aef＋∠afe， ∠bac＝∠acn＋∠anc
∴∠bac＝2∠aef＝2∠anc， ∴∠aef＝∠anc
∴ef//nc ∴ef⊥bc.
3. 構造等腰三角形
例11. 已知如圖在abc中，∠1＝∠2，∠abc＝2∠c。求證：ab＋bd＝ac
證明：延長ab至e，使be＝bd，鏈結de。
則∠bed＝∠bde
∵∠abd＝∠e＋∠bde
∴∠abc＝2∠e
∵∠abc＝2∠c， ∴∠e＝∠c.
在aed和acd中
ac＝ae
∵ae＝ab＋beac＝ab＋bd
即ab＋bd＝ac
例12. 已知在△abc中，ab＝ac，直線ae交bc於點d，o是ae上一動點但不與a重合，且ob＝oc，試猜想ae與bc的關係，並說明你的猜想的理由。
猜想：ae⊥bc，bd＝cd
說理：∵ab＝ac(已知)
ob＝oc(已知)
ao＝ao（公共邊）
∴△abo≌△aco（sss）
∴∠bao＝∠cao
∴ae⊥bc，bd＝cd（等腰三角形底邊上中線，底邊上高線與頂角平分線互相重合）
注意：等腰三角形的三線合一的性質其本質是等腰三角形是軸對稱圖形。而軸對稱又是全等變換中的基本形式，因此常用全等來研究等腰三角形中的問題。
例13、已知：在△abc中，ab＝ac，點d、e在bc上，且ad＝ae，求證：bd＝ce
分析：該題證明方法很多，可以用以前學過的全等三角形解題，也可應用等腰三角形性質解題。
證法一：過a作af⊥bc於f
可由hl證△adf≌△aef，△abf≌△acf得df＝ef，bf＝cf
再由等式性質得bd＝ce
詳細證明過程請自己完成。
證法二：由等邊對等角得∠b＝∠c，∠ade＝∠aed
所以∠adb＝∠aec，根據aas可證△abd≌△ace 得：bd＝ce
證法三：過a作af⊥bc於f，由ab＝ac，得bf＝cf（三線合一），
同理由ad＝ae，得df＝ef
所以由等式性質可得bd＝ce。
比較這三種方法可看出，多用等腰三角形的性質，可減少證三角形全等的次數。所以靈活運用等腰三角形的性質可簡化證題過程。
例14、已知：在△abc中，ab＝ac，點d、e分別在ac，ab上，且∠abd＝∠ace，bd、ce相交於o。
求證：bo＝co
證明：∵ab＝ac（已知） ∴∠abc＝∠acb（等邊對等角）
又∵∠abd＝∠ace（已知）
∴∠abc－∠abd＝∠acb－∠ace（等式性質）
即∠obc＝∠ocb（等量代換）
∴bo＝co（等角對等邊）
例15. 探索：等腰三角形兩底角的平分線大小關係。
已知：如圖，在△abc中，ab＝ac，bd、ce分別是兩底角的平分線。
猜想：bd＝ce.
解：∵ab＝ac（已知），
∴∠abc＝∠acb （在乙個三角形中等邊對等角）
∵bd、ce分別是兩底角的平分線（已知）
∴∠dbc＝∠abc，∠ecb＝∠acb （角平分線的定義）
∴∠dbc＝∠ecb，
在△dbc和△ecb中∠dbc＝∠ecb，bc＝cb（公共邊），∠abc＝∠acb ，
∴△dbc≌△ecb（asa）
∴bd＝ce（全等三角形對應邊相等）
注意：等腰三角形除了頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高以外，還有其他一些相關的線段，探索它們之間的關係也屬於等腰三角形性質的一部分，此例就是所做的一種探索，按照這種思路大家還可以對其他線段進行探索。
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