g3.1039 不等式證明方法(二)
一、知識回顧
1、反證法:從否定結論出發,經過邏輯推理,匯出矛盾,從而肯定原結論的正確;
2、放縮法:欲證,可通過適當放大或縮小,借助乙個或多個中間量使得(或),常用的放縮方式:
捨去或加上一些項;
;; 3、換元法:三角換元、代數換元;
4、判別式法
二、基本訓練:
1、實數、、不全為零的條件為( )
、、全不為零中至多只有乙個為零
、、只有乙個為零 、、中至少有乙個不為零
2、已知,,則有( )
3、為已知,則的取值範圍是。
4、設,,則、大小關係為。
5、 實數,則的取值範圍是。
三、例題分析:
例1、x>0,y>0,求證:
例2、函式,求證:
例3、(三角換元法)
例4、求證: (判別式法)
例5、若a,b,c都是小於1的正數,求證:.
(反證法)
例6、求證:(放縮法)
例7、設二次函式,若函式的圖象與直線和均無公共點。
(1) 求證:
(2) 求證:對於一切實數恒有
四、課堂小結:
1、凡是「至少」、「唯一」或含有否定詞的命題適宜用反證法.
2、換元法(主要指三角代換法)多用於條件不等式的證明,此法若運用恰當,可溝通三角與代數的聯絡,將複雜的代數問題轉化成簡單的三角問題.
3、含有兩上字母的不等式,若可化成一邊為零,而另一邊是關於某字母的二次式時,這時可考慮判別式法,並注意根的取值範圍和題目的限制條件.
4、有些不等式若恰當地運用放縮法可以很快得證,放縮時要看準目標,做到有的放矢,注意放縮適度.
五、同步練習g3.1039 不等式證明方法(二)
1、若且,則的取值範圍是( )
2、已知,則下列各式中成立的是( )
3、設,y∈r,且x+y=4,則的最大值為( )
a) 2b)2+2c) -2d)
4、若f(n)= -n,g(n)=n-,φ(n)=,則f(n),g(n),ф(n)的大小順序為
5、設a,b是兩個實數,給出下列條件:①a+b>1; ②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1,其中能推出:「a、b中至少有乙個實數大於1」的條件是
6、a、b、c∈r-,a≠b,求證:
7、a>b>c,求證:
(提示:換元法,令a-b=m∈r+,b-c=n∈r+)
8、若,求證:
9、已知,求證:中至少有乙個不少於。
10、已知、、是整數且,試證明:
(1);
(2).
答案:dcb 4、g(n)>ф(n)> f(n) 5、③
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