2019-2023年高考數學一輪複習不等式第4課時不等式證明（2）教學案
證明不等式的其它方法：反證法、換元法、放縮法、判別式法等．
反證法：從否定結論出發，經過邏輯推理匯出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原命題是正確的證明方法．
換元法：對結構較為複雜，量與量之間關係不甚明了的命題，通過恰當引入新變數，代換原命題中的部分式子，簡化原有結構，使其轉化為便於研究的形式的證明方法．
放縮法：為證明不等式的需要，有時需捨去或新增一些代數項，使不等式的一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證題的目的，這種方法叫放縮法．
判別式法：根據已知的式子或構造出來的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函式的性質等特徵，確定其判別式所應滿足的不等式，從而推出所證的不等式成立．
例1. 已知f(x)＝x2＋px＋q，
(1) 求證：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2) 求證：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有乙個不小於．
證明: (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2
(2)用反證法。假設｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小於，則｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜＜2，而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，出現矛盾.
∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有乙個不小於.
變式訓練1：設，那麼三個數、、 （ ）
a．都不大於2
b．都不小於2
c．至少有乙個不大於2
d．至少有乙個不小於2
解:d例2. （1） 已知x2＋y2＝1，求證:.
（2） 已知a、b∈r，且a2＋b2≤1，求證:.
證明:(1)設
∴ (其中)
∵ ∴(2)令(其中k2≤1),則≤
故原不等式成立.
變式訓練2： 設實數x，y滿足x2＋(y－1)2＝1，當x＋y＋c≥0時，c的取值範圍是（ ）
a. b.
c. d.
解:a例3. 若，求證：
證明：當時即
故原不等式成立．
變式訓練3：若f(n)＝－n，g(n)＝n－，(n)＝，則f (n)，g (n)，(n)的大小順序為
解:g(n)>φ(n)>f(n)
例4. 證明：．
證明：設，則(1－y)x2＋x＋1－y＝0
(1)當y≠1時，∵x∈r，∴△＝1－4(1－y)2≥0
得(2)當y＝1時，由(1－y)x2＋x＋1－y＝0得x＝0
而x＝0是函式的定義域中的乙個值；
∴y＝1是它值域中的乙個值.
綜合(1)和(2)可知，，
即．變式訓練4：設二次函式，若函式的圖象與直線和均無公共點．
(1) 求證：
(2) 求證：對於一切實數恒有
證明：(1)由ax2＋(b－1)x＋c＝0無實根，得δ1＝(b－1)2－4ac<0
由ax2＋(b＋1)x＋c＝0無實根
得δ2＝(b＋1)2－4ac<0
兩式相加得：4ac－b2>1
(2)∵4ac－b2>1>0，∴a(x＋)與同號，
∴｜ax＋bx＋c｜＝｜ a(x＋)2＋｜
＝｜a｜(x＋)＋≥>
1．凡是含有「至少」，「至多」，「唯一」，「不存在」或其它否定詞的命題適宜用反證法．
2．在已知式子中，如果出現兩變數之和為正常數或變數的絕對值不大於乙個正常數，可進行三角變換，換元法證明不等式時，要注意換元的等價性．
3．放縮法證題中，放縮必須有目標，放縮的途徑很多，如用均值不等式，增減項、放縮因式等．
4．含有字母的不等式，如果可以化成一邊為零，另一邊是關於某字母的二次三項式時，可用判別式法證明不等式成立，但要注意根的範圍和題設條件的限制．
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