【小學數學解題思路大全】巧想妙算文字題（三）
17.想法則
用來說明運算規律(或方法)的文字，叫做法則。
子比分母少16。求這個分數？
由「乙個分數乘以5，是分子乘以5分母不變」，結果是分子的5倍比3倍比分母少16。知
分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18÷2＝9，分母為9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
18.想公式
證明方法：
以分母a，要加(或減)的數為
(2)設分子加上(或減去)的數為x，分母應加上(或減去)的數為y。
19.想性質
例1 2023年小學數學奧林匹克試題初賽(c)卷題6：有甲、乙兩個多少倍？
200÷16＝12.5(倍)。
例2 思考題：三個最簡真分數，它們的分子是連續自然數，分母大於10，且它們最小公分母是60；其中乙個分數的值，等於另兩個分數的和。寫出這三個分數。
由「分母都大於10，且最小公分母是60」，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
由「分子是連續自然數」，知分子只能是小於12的自然數。
滿足題意的三個分數是
(二)第400個分數是幾分之幾？
此題特點：
(2)每組分子的排列：
假設某一組分數的分母是自然數n，則分子從1遞增到n，再遞減到1。分數的個數為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分數的個數總是奇數。
(3)分母數與分數個數的對應關係，正是自然數與奇數的對應關係
分母：1、2、3、4、5、……
分數個數：1、3、5、7、9、……
(4)每組分數之前(包括這組本身)所有分數個數的和，等於這組的組號(這一組的分母)的平方。
例如，第3組分數前(包括第3組)所有分數個數的和是32=9。
10×2－1－6=13(個)位置上。
分別排在81＋7＝88(個)，81＋13=94(個)的位置上。
或者102=100， 100－12=88。
100－6＝94， 88＋6＝94。
問題(二)：由上述一串分數個數的和與組號的關係，將400分成某數的平方，這個數就是第400個分數所在的組數400＝202，分母也是它。
第400個分數在第20組分數中，400是這20組分數的和且正好是20的平方無剩餘，故可斷定是最後乙個，即
若分解為某數的平方有剩餘，例如，第415個和385個分數各是多少。
逆向思考，上述的一串分數中，分母是35的排在第幾到第幾個？
352－(35×2－1)＋1
＝1225－69＋1＝1157。
排在1157－1225個的位置上。
20.由規則想
例如，2023年從小愛數學邀請賽試題：接著1989後面寫一串數字，寫下的每乙個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數字。
例如，8×9＝72，在9後面寫2，9×2＝18，在2後面寫8，……得到一串數：1989286……
這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什麼？
先按規則多計算幾個數字，得1989286884286884……顯然，1989後面的數總是不斷重複出現286884，每6個一組。
(1989－4)÷6＝330……5
最後一組數接著的五個數字是28688，即第1989個數字是8。
21.用規律
例1 第六冊p62第14題：選擇「＋、－、×、÷」中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數分別等於0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2＝0
(2)2 2 2 2 2＝1
……(10)2 2 2 2 2＝9
解這類題的規律是：
先想用兩、三個2列出，結果為0、1、2的基本算式：
2－2＝0，2÷2＝1；
再聯想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
每題都有幾種選填方法，這裡各介紹一種：
2÷2＋2÷2－2＝0
2÷2×2－2÷2＝1
2－2＋2÷2×2＝2
2×2＋2÷2－2＝3
2×2×2－2－2＝4
2－2÷2＋2×2＝5
2＋2－2＋2×2＝6
2×2×2－2÷2＝7
2÷2×2×2×2＝8
2÷2＋2×2×2＝9
例2 第六冊p63題4：寫出奇妙的得數
2＋1×9＝
3＋12×9＝
4＋123×9＝
5＋1234×9＝
6＋12345×9＝
得數依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：
第乙個加數由2開始，每式依次增加1。第二個加數由乘式組成，被乘數的位數依次為1、12、123、……繼續寫下去
7＋123456×9=1111111
8＋1234567×9=11111111
9＋12345678×9＝111111111
10＋123456789×9＝1111111111
11＋1234567900×9=11111111111
12＋12345679011×9=111111111111
……很自然地想到，可推廣為
(1)當n=1、2時，等式顯然成立。
(2)設n=k時，上式正確。當n=k＋1時
k＋1＋123…k×9
=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
根據數學歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對於任意的自然數n，此等式都成立。
例3 牢記下面兩個規律，可隨口說出任意乙個自然數作分母的，所有真分數的和。
(1)奇數(除1外)作分母的所有真分數的和、是(分母－1)÷2。
=(21－1)÷2=10。
22.巧想條件
比5小，分母是13的最簡分數有多少個。
7～64為64－(7－1)＝58(個)，去掉13的倍數13、26、39、52，餘下的作分子得54個最簡分數。
例2 乙個整數與1、2、3，通過加減乘除(可新增括號)組成算式，若結果為24這個整數就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的。
看結果，想條件，知都是可用的。
4×(1＋2＋3)＝24
(5＋1＋2)×3＝24
6×(3＋2－1)＝24
7×3＋1＋2＝24
8×3÷(2－1)＝24
9×3－1－2＝24
10×2＋1＋3＝24
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