式題的巧解妙算（一）
1.特殊數題(1)21－12
當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。
因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數增加1，其差也就相應地增加了乙個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數從12—89，都可類推。
被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數，其差不變。如
210－120＝(2－1)×90＝90，
0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
個位數字都是1，十位數字的和小於10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，後兩位是十位數字的和同1連在一起的數。
若十位數字的和滿10，進1。如
證明：(10a＋1)(10b＋1)
＝100ab＋10a＋10b＋1
＝100ab＋10(a＋b)＋1
(3)26×86 42×62
個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，後兩位是個位數的積。若個位數的積是一位數，前面補0。
證明：(10a＋c)(10b＋c)
＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。
原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
證明：(10＋a)(10＋b)
＝100＋10a＋10b＋ab
＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用乙個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。
原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
＝72×60＋27＝4347。
證明：(10a＋c)(10a＋d)
＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，後兩位是個位數的積。如
證明：(10a＋c)(10a＋d)
=100aa＋10a(c＋d)＋cd
＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。
(7)38×22
十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。
原式＝(30＋8)×(30－8)
＝302－82＝836。
(8)88×37
被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。
(9)36×15
乘數是15的兩位數相乘。
被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1後的一半，和的後面添個5。
＝54×10＝540。
55×15
(10)125×101
三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×101，因為348＋3＝351，
原式＝35148。
(11)84×49
乙個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。
原式＝8400÷2－84
＝4200－84＝4116。
(12)85×99
兩位數乘以9、99、999、…。在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。
原式＝8500－85＝8415
不難看出這類題的積：
最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與1的差；
最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；
中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。
證明：設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0)，則
如果被乘數的個位數是1，例如
31×999
在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。
71×9999＝709999－70＝709929。
這是因為任何乙個末位為1的兩位自然數都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數可表示為(10n－1)的形式，其積為
(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
這是一道頗為繁複的計算題。
原式＝0.052631578947368421。
根據「如果被除數不變，除數擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍」和「商不變」性質，可很方便算出結果。
原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程式：
(1)先用0.1÷2＝0.05。
(2)把商向右移動一位，寫到被除數裡，繼續除
如此除到迴圈為止。
仔細分析這個算式：
加號前面的0.05是0.1÷2的商，後面的0.
05×0.1÷1.9中0.
05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數裡，除以1.
9。這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。
除數末位是9，都可用此法計算。
例如1÷29，用0.1÷3計算。
1÷399，用0.1÷40計算。
2.估算
數學素養與能力(含估算能力)的強弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。
美國數學督導委員會，提出的12種面向全體學生的基本數學能力中，第6種能力即估算：「學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用於考查合理性。
檢驗**或作出決定……」
(1)最高位估算
只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什麼範圍。
例1 1137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。
如果因為忽視小數點而算成560，依據「乙個不等於零的數乘以真分數，積必小於被乘數」估算，錯誤立即暴露。
例3 51.9×1.51
整體思考。
因為 51.9≈50，
而50×1.51≈50×1.5＝75，
又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×1.51＞75。
另外9×1＝9，
所以原式結果大致是75多一點，三位小數的末位數字是9。
例4 3279÷79
把3279和79，看作3200和80。準確商接近40，若相差較大，則是錯的。
(2)最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)規律估算
和大於每乙個加數；
兩個真分數(或純小數)的和小於2；
乙個真分數與乙個帶分數(或乙個純小數與乙個帶小數)的和大於這個帶分數(或帶小數)，且小於這個帶分數(或帶小數)的整數部分與2的和；
兩個帶分數(或帶小數)的和總是大於兩個帶分數(或帶小數)整數部分的和，且小於這兩個整數部分的和加上2；
奇數±奇數＝偶數，偶數±偶數＝偶數，奇數±偶數＝奇數；
差總是小於被減數；
整數與帶分數(或帶小數)的差小於整數與帶分數(或帶小數)的整數部分的差；帶分數(或帶小數)，與整數的差大於帶分數(或帶小數)的整數部分與整數的差。
帶分數(或帶小數)與真分數(或純小數)的差小於這個帶分數(或帶小數)，且大於帶分數(或帶小數)減去1的差；
帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的差小於被減數與減數的整數部分的差，且大於這個差減去1；
如果兩個因數都小於1，則積小於任意乙個因數；
若兩個因數都大於1，則積大於任意乙個因數；
帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的積大於兩個因數的整數部分的積，且小於這兩個整數部分分別加1後相乘的積； 例如，
a＜ab＜b。
奇數×偶數＝偶數，偶數×偶數＝偶數；
若除數＜1，則商＞被除數；
若除數＞1，則商＜被除數；
若被除數＞除數，則商＞1；
若被除數＜除數，則商＜1。
(4)位數估算
整數減去小數，差的小數字數等於減數的小數字數；例如，320－0.68，差為兩位小數。
最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數，等於這兩個數的位數和；
例如，451×7103
最高位的積4×7＝28，滿10，結果是3＋4＝7(位數)。在整除的情況下，被除數的前幾位不夠除，商的位數等於被除數的位數減去除數的位數；
例如，147342÷27
14不夠27除，商是4－2＝2(位數)。
被除數的前幾位夠除，商的位數等於被除數的位數與除數字數的差加上1。
例如，30226÷238
302夠238除，商是5－3＋1＝3(位數)。
(5)取整估算
把接近整數或整
十、整百、……的數，看作整數，或整
十、整百…的數估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小於3。
12×8.5≈10×10，積接近100。
3.並項式
應用交換律、結合律，把能湊整的數先並起來或去括號。
例1 3.34＋12.96＋6.66
＝12.96＋(3.34＋6.66)
＝12.96＋10＝22.96
＝3－3＝0
例3 15.74－(8.52＋3.74)
＝15.74－3.74－8.52
＝12－8.52＝3.48
例4 1600÷(400÷7)
＝1600÷400×7
＝4×7＝28
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