【小學數學解題思路大全】巧想妙算文字題（二）
6.想平均數
思路一：由「任意三個連續自然數的平均數是中間的數」。設第乙個數為「1」，則中間數占
知這三個數是14、15、16。
二、乙個數分別為
16－1＝15，
15－1＝14 或 16－2＝14。
若先求第乙個數，則
思路三：設第三個數為「1」，則第
二、三個數，
知是15、16。
思路四：第
一、三個數的比是7∶8，第乙個數是2÷(8－7)×7＝14。
若先求第三個數，則
2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶數
例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等於100。
例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你還能想出不同的添法嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的「＋」，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
為使其和等於100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
「減去4」可變為「減1、減3」，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負「－1」，不能介紹。如果式左變為
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要將「＋」變為「－」的數和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
為了減少計算。應注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號)，結果為100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇數，4、6的和或差是偶數，奇數±偶數＝奇數，結果不會是100。
(2)有乙個是四位數，結果也不可能為100。因為1234減去餘下數字組成(按順序)的最大數789，再減去餘下的56，差大於100。
例2 求59～199的奇數和。
由從1開始的連續n個奇數和、等於奇數個數n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意乙個自然數，它對應的奇數為2n－1。
例如，32對應奇數2×32－1＝63。奇數199，從1起的連續奇數中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇數和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數和為292＝841。
所求為 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
例1 思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等於100。
例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你還能想出不同的添法嗎？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8間的「＋」，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
＝45＋63＝108。
為使其和等於100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
「減去4」可變為「減1、減3」，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負數「－1」，不能介紹。如果式左變為
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要將「＋」變為「－」的數和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
123－4－5－6－7＋8－9＝100，
123＋4－5＋67－89＝100，
123－45－67＋89＝100。
為了減少計算。應注意：
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號)，結果為100呢？
1、23、5、7、89的和或差是奇數，4、6的和或差是偶數，奇數±偶數＝奇數，結果不會是100。
(2)有乙個是四位數，結果也不可能為100。因為1234減去餘下數字組成(按順序)的最大數789，再減去餘下的56，差大於100。
例2 求59～199的奇數和。
由從1開始的連續n個奇數和、等於奇數個數n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意乙個自然數，它對應的奇數為2n－1。
例如，32對應奇數2×32－1＝63。奇數199，從1起的連續奇數中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇數和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數和為292＝841。
所求為 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.約倍數積法
任意兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的積，等於這兩個自然數的積。
證明：設m、n(都是自然數)的最大公約數為p，最小公倍數為q、且m、n不公有的因數各為a、b。
那麼 m×n＝p×a×p×b。
而 q＝p×a×b，
所以 m×n＝p×q。
例1 甲乙兩數的最大公約數是7，最小公倍數是105。甲數是21，乙數是多少？
例2 已知兩個互質數的最小公倍數是155，求這兩個數。
這兩個互質數的積為1×155＝155，還可分解為5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 兩數的最大公約數是4，最小公倍數是40，大數是數的2.5倍，求各數。
由上述定理和題意知兩數的積，是小數平方的2.5倍。
小數的平方為4×40÷2.5＝64。
小數是8。
大數是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想份數
10.巧用分解質因數
例1 四個比1大的整數的積是144，寫出由這四個數組成的比例式。
144＝24×32
＝(22×3)×[(2×3)×2]
＝(4×3)×(6×2)
可組成4∶6＝2∶3等八個比例式。
例2 三個連續自然數的積是4896，求這三個數。
4896＝25×32×17
＝24×17×(2×32)
＝16×17×18
1728＝26×33＝(22×3)3＝123
385＝5×7×11
例4 2023年小學數學奧林匹克試題初賽(c)卷題3：找出1992的所有不同的質因數，它們的和是多少？
1992＝2×2×2×3×83
2＋3＋83＝88
例5 甲數比乙數大9，兩數的積是1620，求這兩個數。
1620＝22×34×5
＝(32×22)×(32×5)
甲數是45，乙數是36。
例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數且積相等，求這兩組數。
八個數的積等於2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每組數的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為
例7 600有多少個約數？
600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
＝23×3×52
只含因數2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數分別為：
2、22、23；
3；5、52；
2×3、22×3、23×3；
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
3×5、3×52；
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因數的數只有1。
這八種情況約數的個數為；
3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
不難發現解題規律：把給定數分解質因數，寫成冪指數形式，各指數分別加1後相乘，其積就是所求約數的個數。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
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