銳角三角函式:
知識點一:銳角三角函式的定義:
一、 銳角三角函式定義:
在rt△abc中,∠c=900, ∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c,
則∠a的正弦可表示為:sina
∠a的余弦可表示為cosa
∠a的正切:tana它們弦稱為∠a的銳角三角函式
2、取值範圍 】
例1.如圖所示,在rt△abc中,∠c=90°.
第1題圖
例2. 銳角三角函式求值:
在rt△abc中,∠c=90°,若a=9,b=12,則c=______,
sina=______,cosa=______,tana=______,
sinb=______,cosb=______,tanb=______.
例3.已知:如圖,rt△tnm中,∠tmn=90°,mr⊥tn於r點,tn=4,mn=3.
求:sin∠tmr、cos∠tmr、tan∠tmr.
典型例題:
型別一:直角三角形求值
1.已知rt△abc中,求ac、ab和cosb.
2.如圖,⊙o的半徑oa=16cm,oc⊥ab於c點,求ab及oc的長.
3.已知:⊙o中,oc⊥ab於c點,ab=16cm,
(1)求⊙o的半徑oa的長及弦心距oc;
(2)求cos∠aoc及tan∠aoc.
4. 已知是銳角,,求,的值
對應訓練:
1.在rt△abc中,∠ c=90°,若bc=1,ab=,則tana的值為
a. b. cd.2
2.在△abc中,∠c=90°,sina=,那麼tana的值等於( ).
abc. d.
型別二. 利用角度轉化求值:
1.已知:如圖,rt△abc中,∠c=90°.d是ac邊上一點,de⊥ab於e點.
de∶ae=1∶2.求:sinb、cosb、tanb.
2. 如圖,直徑為10的⊙a經過點和點,與x軸的正半軸交於點d,b是y軸右側圓弧上一點,則cos∠obc的值為( )
abcd.
3.如圖,角的頂點為o,它的一邊在x軸的正半軸上,另一邊oa上有一點p(3,4),則
4.如圖,菱形abcd的邊長為10cm,de⊥ab,,則這個菱形的面積= cm2.
5.如圖,是的外接圓,是的直徑,若的半徑為,,則的值是( )
abcd.
6. 如圖6,沿摺疊矩形紙片,使點落在邊的點處.已知,,ab=8,則的值為 ( )
7. 如圖7,在等腰直角三角形中,,,為上一點,若,則的長為( )
a. b. cd.
8. 如圖8,在rt△abc中,∠c=90°,ac=8,∠a的平分線 ad=求 ∠b的度數及邊bc、ab的長.
型別三. 化斜三角形為直角三角形
例1 如圖,在△abc中,∠a=30°,∠b=45°,ac=2,求ab的長.
例2.已知:如圖,在△abc中,∠bac=120°,ab=10,ac=5.
求:sin∠abc的值.
對應訓練
1.如圖,在rt△abc中,∠bac=90°,點d在bc邊上,且△abd是等邊三角形.若ab=2,求△abc的周長.(結果保留根號)
2.已知:如圖,△abc中,ab=9,bc=6,△abc的面積等於9,求sinb.
3. abc中,∠a=60°,ab=6 cm,ac=4 cm,則△abc的面積是
a.2 cm24 cm2 c.6 cm2 d.12 cm2
型別四:利用網格構造直角三角形
例1 如圖所示,△abc的頂點是正方形網格的格點,則sina的值為( )
a. b. c. d.
對應練習:
1.如圖,△abc的頂點都在方格紙的格點上,則sin a
2.如圖,a、b、c三點在正方形網路線的交點處,若將繞著點a逆時針旋轉得到,則的值為
a. bcd.
3.正方形網格中,如圖放置,則tan的值是( )
ab. c. d. 2
特殊角的三角函式值
當時,正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而
例1.求下列各式的值.
1).計算:.
2)計算:.
3)計算:3-1+(2π-1)0-tan30°-tan45°
4.計算:.
5.計算:;
例2.求適合下列條件的銳角α.
(12)
(34)
(5)已知α為銳角,且,求的值
(6)在中,若,都是銳角,求.
例3. 三角函式的增減性
1.已知∠a為銳角,且sin a < ,那麼∠a的取值範圍是
a. 0°< a < 30° b. 30°< a <60° c. 60°< a < 90° d. 30°< a < 90°
2. 已知a為銳角,且,則 ( )
a. 0°< a < 60° b. 30°< a < 60° c. 60°< a < 90° d. 30°< a < 90°
例4. 三角函式在幾何中的應用
1.已知:如圖,在菱形abcd中,de⊥ab於e,be=16cm,
求此菱形的周長.
2.已知:如圖,rt△abc中,∠c=90°,,作∠dac=30°,ad交cb於d點,求:(1)∠bad;
(2)sin∠bad、cos∠bad和tan∠bad.
3. 已知:如圖△abc中,d為bc中點,且∠bad=90°,,求:sin∠cad、cos∠cad、tan∠cad.
4. 如圖,在rt△abc中,∠c=90°,,點d在bc邊上,dc= ac = 6,求tan ∠bad的值.
5.如圖,△abc中,∠a=30°,,.求ab的長.
解直角三角形:
1.在解直角三角形的過程中,一般要用的主要關係如下:
在rt△abc中,∠c=90°,ac=b,bc=a,ab=c,
①三邊之間的等量關係
②兩銳角之間的關係
③邊與角之間的關係:
④直角三角形中成比例的線段.
在rt△abc中,∠c=90°,cd⊥ab於d.
cd2ac2
bc2ac·bc
型別一例1.在rt△abc中,∠c=90°.
(1)已知:a=35,,求∠a、∠b,b;
(2)已知:,,求∠a、∠b,c;
(3)已知:,,求a、b;
(4)已知:求a、c;
(5)已知:∠a=60°,△abc的面積求a、b、c及∠b.
例2.已知:如圖,△abc中,∠a=30°,∠b=60°,ac=10cm.求ab及bc的長.
例3.已知:如圖,rt△abc中,∠d=90°,∠b=45°,∠acd=60°.bc=10cm.求ad的長.
例4.已知:如圖,△abc中,∠a=30°,∠b=135°,ac=10cm.求ab及bc的長.
型別二:解直角三角形的實際應用
仰角與俯角:
例1.如圖,從熱氣球c處測得地面a、b兩點的俯角分別是30°、45°,如果此時熱氣球c處的高度cd為100公尺,點a、d、b在同一直線上,則ab兩點的距離是( )
例2.已知:如圖,在兩面牆之間有乙個底端在a點的梯子,當它靠在一側牆上時,梯子的頂端在b點;當它靠在另一側牆上時,梯子的頂端在d點.已知∠bac=60°,∠dae=45°.點d到地面的垂直距離,求點b到地面的垂直距離bc.
例3.如圖,一風力發電裝置豎立在小山頂上,小山的高bd=30m.
從水平面上一點c測得風力發電裝置的頂端a的仰角∠dca=60°,
測得山頂b的仰角∠dcb=30°,求風力發電裝置的高ab的長.
例4 .如圖,小聰用一塊有乙個銳角為的直角三角板測量樹高,已知小聰和樹都與地面垂直,且相距公尺,小聰身高ab為1.7公尺,求這棵樹的高度.
例5.已知:如圖,河旁有一座小山,從山頂a處測得河對岸點c的俯角為30°,測得岸邊點d的俯角為45°,又知河寬cd為50m.現需從山頂a到河對岸點c拉一條筆直的纜繩ac,求山的高度及纜繩ac的長(答案可帶根號).
例6.如圖,為測量某物體ab的高度,在d點測得a點的仰角為30°,朝物體ab方向前進20公尺,到達點c,再次測得點a的仰角為60°,則物體ab的高度為( )
例7.超速行駛是引發交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速.如圖,觀測點設在a處,離益陽大道的距離(ac)為30公尺.這時,一輛小轎車由西向東勻速行駛,測得此車從b處行駛到c處所用的時間為8秒,∠bac=75°.
(1)求b、c兩點的距離;
(2)請判斷此車是否超過了益陽大道60千公尺/小時的限制速度?
銳角三角函式知識點
1 如圖,在 abc中,c 90 銳角a的對邊與斜邊的比叫做 a的正弦,記為sina,即 銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做 a的余弦,記為cosa,即 銳角a的對邊與鄰邊的比叫做 a的正切,記為tana,即 銳角a的鄰邊與對邊的比叫做 a的餘切,記為cota,即2 銳角三角函式的概念 銳角a的正弦 余弦 ...
銳角三角函式知識點總結
1 勾股定理 直角三角形兩直角邊 的平方和等於斜邊的平方。2 如下圖,在rt abc中,c為直角,則 a的銳角三角函式為 a可換成 b 3 任意銳角的正弦值等於它的餘角的余弦值 任意銳角的余弦值等於它的餘角的正弦值。4 任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值 任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值。5 ...
初中數學九年級知識點總結 28銳角三角函式
人教版 初中數學九年級知識點總結 28銳角三角函式 編者按 本章內容主要學習正弦 余弦和正切等銳角三角函式的概念以及研究直角三角形中的邊角關係和解直角三角形的內容。通過本章的學習應該掌握銳角三角函式以及直角三角函式的相關內容。一 目標與要求 1.通過例項認識直角三角形的邊角關係,即銳角三角函式 si...