第9模組第5節
[知能演練]
一、選擇題
1．用數學歸納法證明：「1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)」在驗證n＝1時，左端計算所得的項為
( )
a．1b．1＋a
c．1＋a＋a2d．1＋a＋a2＋a3
解析：當n＝1時，左端＝1＋a＋a2.
答案：c
2．用數學歸納法證明「1＋＋＋…＋1)」時，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數是
( )
a．2k－1b．2k－1
c．2kd．2k＋1
解析：增加的項數為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.
答案：c
3．用數學歸納法證明「當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除」第二步歸納假設應該寫成
( )
a．假設當n＝k(k∈n* )時，xk＋yk能被x＋y整除
b．假設當n＝2k(k∈n* )時，xk＋yk能被x＋y整除
c．假設當n＝2k＋1(k∈n* )時，xk＋yk能被x＋y整除
d．假設當n＝2k－1(k∈n* )時，xn＋yn能被x＋y整除
答案：d
4．某個命題與自然數n有關，若n＝k(k∈n* )時該命題成立，那麼可推得n＝k＋1時該命題也成立，現已知當n＝5時該命題不成立，那麼可推得
( )
a．當n＝6時該命題不成立
b．當n＝6時該命題成立
c．當n＝4時該命題不成立
d．當n＝4時該命題成立
解析：若原命題正確，則其逆否命題正確，所以若n＝k(k∈n )時該命題成立，那麼可推得n＝k＋1時該命題也成立；若n＝k＋1時命題不成立，則n＝k時命題也不成立．
答案：c
二、填空題
5．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n個式子為________．
答案：1－4＋9－…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)．
6．如下圖，這是乙個正六邊形的序列：
則第n個圖形的邊數為
解析：第(1)圖共6條邊，第(2)圖共11條邊，第(3)圖共16條邊，…，其邊數構成等差數列，則第(n)圖的邊數為an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.
答案：5n＋1
三、解答題
7．在數列中，已知a1＝a(a>1)，且an＋1＝(n∈n* )，求證：an>1(n∈n )．
證明：①當n＝1時，a1＝a>1，不等式成立．
②假設n＝k(k≥1)時，不等式成立，即ak>1，
則當n＝k＋1時，ak＋1－1＝－1＝.
∵ak>1，∴ >0.∴ak＋1>1，
即當n＝k＋1時，不等式也成立．
綜合①②知，對一切n∈n* ，都有an>1.
8．已知點pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈n* )且點p1的座標為(1，－1)．
(1)求過點p1，p2的直線l的方程；
(2)試用數學歸納法證明：對於n∈n ，點pn都在(1)中的直線l上．
解：(1)由p1的座標為(1，－1)知
a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝.
a2＝a1·b2＝.
∴點p2的座標為(，)
∴直線l的方程為2x＋y＝1.
(2)①當n＝1時，
2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假設n＝k(k∈n* ，k≥1)時，2ak＋bk＝1成立，
則2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)
＝＝＝1，
∴當n＝k＋1時，命題也成立．
由①②知，對n∈n ，都有2an＋bn＝1，
即點pn在直線l上．
[高考·模擬·**]
1．等比數列的前n項和為sn，已知對任意的n∈n* ，點(n，sn)均在函式y＝bx＋r(b>0且b≠1，b、r均為常數)的圖象上．
(1)求r的值．
(2)當b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈n* )．
證明：對任意的n∈n ，不等式··…·>成立．
解：(1)因為對任意的n∈n ，點(n，sn)均在函式y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數)，所以得sn＝bn＋r，當n＝1時，a1＝s1＝b＋r，當n≥2時，an＝sn－sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因為為等比數列，所以r＝－1，公比為b，an＝(b－1)bn－1.
(2)當b＝2時，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n，則＝，所以
下面用數學歸納法證明不等式》成立．
①當n＝1時，左邊＝，右邊＝，因為》，所以不等式成立．
②假設當n＝k時不等式成立，即》成立．則當n＝k＋1時，左邊》·＝＝
＝>所以當n＝k＋1時，不等式也成立．
由①、②可得不等式恆成立．
2．已知正項數列中，對於一切的n∈n 均有a≤an－an＋1成立．
(1)證明：數列中的任意一項都小於1；
(2)**an與的大小，並證明你的結論．
解：(1)由a≤an－an＋1得
an＋1≤an－a.
∵在數列中，an>0，∴an＋1>0，
∴an－a>0，∴0故數列中的任何一項都小於1.
(2)解法一：由(1)知0那麼a2≤a1－a＝－(a1－)2＋≤<，由此猜想：an<.
下面用數學歸納法證明：當n≥2，n∈n時猜想正確．
①當n＝2時，顯然成立；
②假設當n＝k(k≥2，k∈n)時，有ak<≤成立．
那麼ak＋1≤ak－a＝－(ak－)2＋<－(－)2＋＝－＝<＝，
∴當n＝k＋1時，猜想也正確．
綜上所述，對於一切n∈n* ，都有an<.
解法二：由a≤an－an＋1，
得0∵0∴≥＝＋，
∴－≥>1.
令k＝1,2,3，…，n－1得：
－>1，－>1，…，－>1，
∴>＋n－1>n，∴an<.
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