第8模組第5節
[知能演練]
一、選擇題
1．已知定點a(1,1)和直線l：x＋y－2＝0，那麼到定點a的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為
( )
a．橢圓b．雙曲線
c．拋物線d．直線
解析：由於點a在直線x＋y－2＝0上．因此選d.
答案：d
2．已知兩定點a(－2,0)，b(1,0)，如果動點p滿足|pa|＝
2|pb|，則點p的軌跡所包圍的圖形的面積等於
( )
ab．4c．8π d．9π
解析：設p(x，y)，由|pa|＝2|pb|
得＝2.
整理得x2－4x＋y2＝0.
即(x－2)2＋y2＝4，
故點p的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓，故s＝4π.
答案：b
3．已知橢圓的焦點是f1、f2，p是橢圓上的乙個動點，如果m是線段f1p的中點，則動點m的軌跡是
( )
a．圓b．橢圓
c．雙曲線的一支d．拋物線
解析：如右圖，由題知|pf1|＋
|pf2|＝2a，(設橢圓方程為＋＝1，其中a>b>0)．鏈結mo，由三角形的中位線可得|f1m|＋|mo|＝a(a>|f1o|)，則m軌跡為以f1、o為焦點的橢圓，故選b.
答案：b
4．平面直角座標系中，已知兩點a(3,1)，b(－1,3)，若點c滿足＝λ1＋λ2 (o為原點)，其中λ1，λ2∈r，且λ1＋λ2＝1，則點c的軌跡是
( )
a．直線b．橢圓c．圓d．雙曲線
解析：設c(x，y)，由已知得(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，
∴，又λ1＋λ2＝1.消去λ1，λ2得，x＋2y＝5.
答案：a
二、填空題
5．平面上有三個點a(－2，y)，b(0，)，c(x，y)，若⊥，則動點c的軌跡方程是
解析：＝(0，)－(－2，y)＝(2，－)，
＝(x，y)－(0，)＝(x，)，
∵⊥，∴·＝0，
∴(2，－)·(x，)＝0，
即y2＝8x.
∴動點c的軌跡方程為y2＝8x.
答案：y2＝8x
6．△abc中，a為動點，b、c為定點，b(－，0)，c(，0)，且滿足條件sinc－sinb＝sina，則動點a的軌跡方程是
解析：由正弦定理：－＝×，
∴|ab|－|ac|＝|bc|，且為雙曲線右支．
答案：－＝1(x>0且y≠0)
三、解答題
7．已知直角座標平面上一點q(2,0)和圓c：x2＋y2＝1，動點m到圓c的切線長等於圓c的半徑與|mq|的和，求動點m的軌跡方程．
解：設mn切圓c於n，又圓的半徑為|cn|＝1，
因為|cm|2＝|mn|2＋|cn|2＝|mn|2＋1，
所以|mn|＝.
由已知|mn|＝|mq|＋1，設m(x，y)，則
＝＋1，
兩邊平方得2x－3＝，
即3x2－y2－8x＋5＝0(x≥)．
8．已知橢圓＋＝1上任意一點p，由p向x軸作垂線段pq，垂足為q，點m**段pq上，且＝2，點m的軌跡為曲線e.
(1)求曲線e的方程；
(2)若過定點f(0,2)的直線l交曲線e於不同的兩點g，h(點g在點f，h之間)，且滿足＝2，求直線l的方程．
解：(1)設m(x，y)，p(x0，y0)，
∵＝2，∴，
將其代入橢圓方程得＋＝1
得曲線e的方程為：＋y2＝1.
(2)設g(x1，y1)、h(x2，y2)，
∵＝2，∴x2＝2x1①
依題意，當直線l斜率不存在時，g(0,1)，h(0，－1)，不滿足＝2.故設直線l：y＝kx＋2，代入曲線e的方程並整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝②
聯立①②解得k＝±，
所以直線l的方程為：y＝±x＋2.
[高考·模擬·**]
1．設過點p(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交於a、b兩點，點q與點p關於y軸對稱，o為座標原點，若＝2，且·＝1，則p點的軌跡方程是
( )
a．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
b．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
c. x2－3y2＝1(x>0，y>0)
d. x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
解析：設p(x，y)，則有a(x,0)，b(0,3y)，q(－x，y)，∴·＝(－x，y)·(－x,3y)＝x2＋3y2＝1.故選d.
答案：d
2．已知兩點m(－2,0)、n(2,0)，點p為座標平面內的動點，滿足|m|·||＋·＝0，則動點p(x，y)的軌跡方程為
( )
a．y2＝8xb．y2＝－8x
c．y2＝4xd．y2＝－4x
解析：設p(x，y)，由題意＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，||＝4，||＝，所以有||·||＋·＝4＋4(x－2)＝0，即y2＝－8x，故選b.
答案：b
3．若點p到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點p的軌跡為
( )
a．圓b．橢圓c．雙曲線 d．拋物線
解析：依題意知，點p到直線x＝－2的距離等於它到點(2,0)的距離，故點p的軌跡是拋物線，選d.
答案：d
4．如右圖，ab是平面α的斜線段，a為斜足．若點p在平面α內運動，使得△abp的面積為定值，則動點p的軌跡是
( )
a．圓b．橢圓
c．一條直線d．兩條平行直線
解析：由題意得，p到線段ab的距離為定值，可構造一立體圖形，即設線段ab為一圓柱上下底面中心連線上的一條線段，過點a有乙個平面斜截圓柱得乙個橢圓，橢圓上的點即為p點，點p到線段ab的距離為這個圓柱的底面半徑．
答案：b
5．在平面直角座標系xoy中，點p到點f(3,0)的距離的4倍與它到直線x＝2的距離的3倍之和記為d.當點p運動時，d恆等於點p的橫座標與18之和．求點p的軌跡c.
解：設點p的座標為(x，y)，
則d＝4＋3|x－2|.
由題設，d＝18＋x，即4＋3|x－2|＝18＋x.①
當x>2時，由①得＝6－x.②
化簡得＋＝1.
當x≤2時，由①得＝3＋x，③
化簡得y2＝12x，故點p的軌跡c是由橢圓c1：＋＝1在直線x＝2的右側部分與拋物線c2：y2＝12x在直線x＝2的左側部分(包括它與直線x＝2的交點)所組成的曲線，參見上圖．
[備選精題]
6．已知定點a(－2,0)，動點b是圓f：(x－2)2＋y2＝64(f為圓心)上一點，線段ab的垂直平分線交bf於點p.
(1)求動點p的軌跡方程；
(2)直線y＝x＋1交p點的軌跡於m，n兩點，若p點的軌跡上存在點c，使＋＝m，求實數m的值．
解：(1)由題意知，|pa|＝|pb|，
且|pb|＋|pf|＝r＝8，
∴|pa|＋|pf|＝8>|af|，
∴p點軌跡為以a、f為焦點的橢圓．
設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，
∴2a＝8，a＝4，a2－b2＝c2＝22＝4，∴b2＝12，
∴點p的軌跡方程為＋＝1.
(2)設m(x1，y1)、n(x2，y2)、c(x0，y0)．
∵＋＝m，
∴(x1＋x2，y1＋y2)＝m(x0，y0)，
∴x0＝，y0＝.
由，得15x2＋8x－44＝0，
∴x1＋x2＝－，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝，
∴x0＝－，y0＝.
∵點c在橢圓＋＝1上，
∴＋＝1，
∴m2＝，∴m＝±.
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第8模組第9節 一 選擇題 1 若直線y a與橢圓 1恒有兩個不同的交點，則a的取值範圍是 ab 3,3 c 2,2d 4,4 解析 如右圖，作出圖形，即可求出結果 答案 c 2 設拋物線y2 8x的準線與x軸交於點q，若過點q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值範圍是 ab 2,2 c ...
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第9模組第5節 知能演練 一 選擇題 1 用數學歸納法證明 1 a a2 an 1 a 1 在驗證n 1時，左端計算所得的項為 a 1b 1 a c 1 a a2d 1 a a2 a3 解析 當n 1時，左端 1 a a2.答案 c 2 用數學歸納法證明 1 1 時，由n k k 1 不等式成立，推...
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第11模組第6節 知能演練 一 選擇題 1 如右圖，向圓內投鏢，如果每次都投入圓內，那麼投中正方形區域的概率為 ab.cd.解析 投中正方形區域的概率為正方形的面積與圓的面積之比，設正方形的邊長為1，則其面積為1，圓的半徑為，面積為 2 故投中正方形區域的概率為 故選a.答案 a 2 在500 ml...