問題18 等差數列、等比數列的證明問題
一、考情分析
等差數列與等比數列的證明是高考熱點，一般出現在解答題第一問，等差數列與等比數列的證明難度雖然不大，但有一定的技巧性，且對規範性要求較高，解題時要避免會而不對或對而不全．
二、經驗分享
1.等差數列證明方法主要有：(1)定義法：
an－an－1(n≥2,n∈n*)為同一常數是等差數列；(2)等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈n*)成立是等差數列；(3)通項公式法：an＝pn＋q(p,q為常數)對任意的正整數n都成立是等差數列；(4)前n項和公式法：
驗證數列的前n項和sn＝an2＋bn(a,b為常數)對任意的正整數n都成立是等差數列；
【點評】證明數列成等比數列的關鍵是利用已知得出＝.
【小試牛刀】【安徽省安慶一中、山西省太原五中等五省六校（k12聯盟）2018屆高三上學期期末】已知數列滿足， 且．
（1）求證：數列是等差數列，並求出數列的通項公式；
（2）令，，求數列的前項和．
（2）由（1）知，∴，∴，．
(二) 運用等差或等比中項性質
是等差數列, 是等比數列,這是證明數列為等差（等比）數列的另一種主要方法．
【例2】正數數列和滿足：對任意自然數成等差數列,成等比數列．證明：數列為等差數列．
【點評】本題依據條件得到與的遞推關係,通過消元代換構造了關於的等差數列,使問題得以解決．通過挖掘的意義匯出遞推關係式,靈活巧妙地構造得到中項性質,這種處理大大簡化了計算．
【小試牛刀】已知等比數列的公比q＝－.
(1)若a3＝,求數列的前n項和；
(2)證明：對任意k∈n*,ak,ak＋2,ak＋1成等差數列．
【解析】(1)由通項公式可得a3＝a1＝,解得a1＝1,再由等比數列求和公式得sn＝＝.
(2)證明：∵k∈n*,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)
＝a1qk－1(2q2－q－1)
＝a1qk－1·
＝0,∴2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0,∴對任意k∈n*,ak,ak＋2,ak＋1成等差數列．
(三) 反證法
解決數學問題的思維過程,一般總是從正面入手,即從已知條件出發,經過一系列的推理和運算,最後得到所要求的結論,但有時會遇到從正面不易入手的情況,這時可從反面去考慮．如：
【例3】設是公比不相等的兩等比數列,．證明數列不是等比數列．
【點評】本題主要考查等比數列的概念和基本性質、推理和運算能力,對邏輯思維能力有較高要求．要證不是等比數列,只要由特殊項（如）就可否定．一般地講,否定性的命題常用反證法證明,其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性．
【小試牛刀】【江蘇省泰州市2019屆高三上學期期末】已知數列｛｝的前n項和為sn，，且對任意的n∈n*，n≥2都有。
（1）若0，，求r的值；
（2）數列｛｝能否是等比數列？說明理由；
（3）當r＝1時，求證：數列｛｝是等差數列。
【解析】（1）令n＝2，得：，
即：，化簡，得：，因為，，，
所以，，解得：r＝1.
（2）假設是等比數列，公比為，則，且，
解得或，
由，可得，
所以，兩式相減，整理得，
兩邊同除以，可得，
因為，所以，
【小試牛刀】已知等比數列的公比為q,記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈n*),則以下結論一定正確的是( )
a．數列為等差數列,公差為qm
b．數列為等比數列,公比為q2m
c．數列為等比數列,公比為qm2
d．數列為等比數列,公比為qmm
【答案】c
【解析】 bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1),＝＝qm,故數列為等比數列,公比為qm,選項a,b均錯誤；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1),＝ (qm)m＝qm2,故數列為等比數列,公比為qm2,d錯誤,故選c.
五、遷移運用
1.已知數列滿足,則「 數列為等差數列」 是「 數列為等差數列」的（ ）
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充分必要條件d．即不充分也不必要條件
【答案】a
2已知數列的前項和,則「「是「數列是等比數列」的（ ）．
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件d． 既不充分也不必要條件
【答案】b
【解析】當時,不是等比數列；若數列是等比數列,當時,與數列是等比數列矛盾,所以,因此「「是「數列是等比數列」的必要不充分條件,選b.
因為對任意，總存在數列中的兩個不同項， ，使得，所以對任意的都有，明顯.
若，當時，
有，不符合題意，捨去；
若，當時，
有，不符合題意，捨去；
故.8．【山西省晉城市2018屆高三上學期第一次模擬】已知數列滿足，.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）求數列的前10項和.
9．【雲南省昆明市第一中學2018屆高三第五次月考】已知數列滿足.
（1）證明： 是等比數列；
（2）令，求數列的前項和.
【解析】（1）由得：
∵，∴，從而由得 ，
∴是以為首項， 為公比的等比數列．
10．【江蘇省鎮江市2018屆高三上學期期末】已知數列的前項和，對任意正整數，總存在正數使得， 恆成立：數列的前項和，且對任意正整數， 恆成立.
（1）求常數的值；
（2）證明數列為等差數列；
（3）若，記，是否存在正整數，使得對任意正整數， 恆成立，若存在，求正整數的最小值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）∵①
∴②，，
①-②得：，即， ，
又∴， ，
時， ； 時，.
∵為正數
又因為，
所以數列是以1為首項，以2為公比的等比數列.
（2）由（1）知，
因為，所以，
所以.13．【河南省南陽市第一中學校2018屆高三第七次考試】已知數列數列的前項和且，且.
（1）求的值，並證明：；
（2）求數列的通項公式.
14．【福建省三明市**區高中聯盟校2018屆高三上學期階段性考試】已知各項為正數的數列， ，前項和， 是與的等差中項（）．
（1）求證： 是等差數列，並求的通項公式；
（2）設，求前項和．
15．【湖北省部分重點中學2018屆高三上學期第二次聯考】設數列的前項和為，點在直線上.
（1）求證：數列是等比數列，並求其通項公式；
（2）設直線與函式的圖象交於點，與函式的圖象交於點，記（其中為座標原點），求數列的前項和.
【解析】（1）點在直線上，①
（i）當時，.
（ii）當時，② ①-②即.
數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）由已知
即數列是首項為2，公比為2的等比數列，.
（2）設為數列的前項和，則，
當時，，
兩式相減得，經驗證當時也成立，
故，當時，，
故當時，
.利用錯位相減法可求得，，.
又也符合上式，故數列的通項公式為.
等差數列 等比數列的證明及數列求和
1 已知數列滿足，求證 數列是等比數列 求數列的通項公式。2 已知數列滿足，求證 數列是等比數列 求數列的通項公式。3 已知數列滿足，求證 數列是等差數列 求數列的通項公式。4 已知數列滿足，求證 數列是等差數列 求數列的通項公式。5 已知數列，是它的前項和，且，設，求證 數列是等比數列 設，求證 ...
等差數列 等比數列知識總結
若為等比數列，則為等比數列.4.前n項和公式 5.前n項和性質 已知等比數列的前n項和為sn，前2n項和為s2n，前3n項和為s3n，則s2n，s2n sn，s3n s2n成等比數列，公差為qn.已知數列為等差數列，公差為d，若bn 則數列為等比數列，公比為qd.已知數列為各項均為正數的等比數列，公...
等差數列和等比數列的複習
一 知識要點 1 等差數列和等比數列是兩種最基本，最常見的數列.應熟練掌握等差 等比數列的定義 通項公式 前n項和公式，通過通項公式與前n項和公式聯絡著五個基本量a1,d 或q n,an,sn，已知其三必可求其餘二 將等差 等比數列問題，轉化為關於這五個基本量的運算問題，是常見的解題方法.2 等差 ...