一.二次根式的概念：
（1）形如的式子叫做二次根式.
（即乙個的算術平方根叫做二次根式
（2）二次根式有意義的條件:被開方數大於或等於零。如：
二. 二次根式化簡:
1.（1）最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。
①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；
③被開方數的每乙個因數的指數都小於根指數2.
（2）用來判斷乙個二次根式是否是最簡二次根式
記憶：最簡二次根式簡記：
最簡根式三條件，號內不把字母含，冪指數根指數要互質，冪指數小於根指數。
（3）二次根式化簡的一般步驟：
①把帶分數或小數化成假分數②把開方數分解成質因數或分解因式③把根號內能開盡的數移到根號外④化去根號內的分母，或者化去分母中的根號⑤約分
2.幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，那麼這幾個二次根式叫做同類二次根式。
3.分母有理化
（1）有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果他們的積不含有二次根式，那麼這兩個代數式叫做互為有理化因式。
常用： 與與與
+與與（2）分母有理化：在分母含有根號的式子中，把分母中的根號化去。
分母有理化方法：
①分子與分母同乘以分母的有理化因式
例如：②分子或分母分解因式，約去分母中含有二次根式的因式
例如：4.把因式移到根號內、外的方法：
（1）①當根號外的數是乙個負數時，把負號留在根號外，然後把這個數平方後移到根號內；②當根號外數是乙個正數時，把這個數平方後移到根號內。
如： （2）①當根號內的數是乙個負數時，開方移到根號外後填上負號；②當根號內數是乙個正數時，直接開方移到根號外。
如：三.二次根式的性質：
（1） 非負性 ：
問：（2）與（3）的異同點？
四.二次根式的運算：
二次根式乘法法則
二次根式除法法則
二次根式的加減： (一化，二找，三合併 )
（1）將每個二次根式化為最簡二次根式；
注意：化簡二次根式的方法：
1.如果被開方數是整數或整式，先將其分解因數或分解因式，然後把開的盡方的因數或因式開出來。
2. 如果被開方數中含有分數或分式，就利用分數或分式的基本性質將分母化成平方然後開出來。
（2）找出其中的同類二次根式；
（3）合併同類二次根式。
ps:類似於合併同類項，關鍵是把同類二次根式合併。
二次根式的混合運算：原來學習的運算律（結合律、交換律、分配律）仍然適用
二、二次根式的應用
1.對二次根式的認識
1．乙個自然數的算術平方根為，則與這個自然數相鄰的兩個自然數的算術平方根為（ ）
（a）（b）（c）（d）
2.若的平方根是，則．
3.已知：最簡二次根式與的被開方數相同，則．
4．若是的整數部分，是的小數部分，則，．
5．已知，且，則滿足上式的整數對有_____．
2、根據二次根式有意義的條件確定未知數的值
1：使有意義的的取值範圍
2.若，則
3.當時，式子有意義
4．若代數式有意義，則的取值範圍是（ ）
a．且 b． c．且 d．且
5．等式成立的條件是（ ）
a． b． c． d．
3、非負性的運用
例1.已知：,求x-y的值.
2.若，則等於（ ）
a． b． c． d．1
3、若為實數，且，則的值為（ ）
a．1 b． c．2 d．
4、二次根式估算
⑴如右圖，在數軸上，兩點之間表示整數的點有個.
⑵估計的值（ ）
ａ. 在3到4之間 ｂ. 在4到5之間 ｃ. 在5到6之間 ｄ. 在6到7之間
⑶的整數部分是________
4估算的值（ ）
a．在和之間b．在和之間
c．在和之間d．在和之間
5、運用數形結合，進行二次根式化簡
(1) 把因式移到根號內、外
1．若，則化簡得（ ）
（a） （b） （c） （d）
2.已知，化簡的結果（ ）
（a） （b） （c） （d）
3.中根號外的移入根號內（ ）
（a） （b） （c） （d）
4．把式子中根號外的移到根號內，得（ ）
a． b． c． d．
5．若，且成立的條件是_____．
6．當，化簡_______
（2）識別最簡二次根式和同類二次根式
1.下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
2、下列根式中不是最簡二次根式的是（ ）．
a． b． c． d．
3.在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
4. .在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
5.若與化成最簡二次根式後的被開方數相同，則的值為（ ）
（a）（b） （c） （d）
（3）利用二次根式的性質來化簡
1．若，則等於（ ）
（a）0 （b） （c） （d）0或
2．若，則
3．當時，化簡等於（ ）
（a）2 （b） （c） （d）0
4．若，則等於_____．
5．化簡得（ ）
（a）2 （b） （c） （d）
6．已知下列命題：
③； ④．
其中正確的有（ ）
（a）0個 （b）1個 （c）2個 （d）3個
7．已知是實數，且，則與的大小關係是（ ）
（a） （b） （c） （d）
8.若化簡，則的取值範圍
9．當______時，
10.實數a、b在數軸上的位置如圖所示．化簡=
（4）綜合化簡題
1..已知x,y都是實數,且滿足,化簡
2．已知是實數，且，求的值
3．若，則的結果為（ ）
（a） （b） （c） （d）
4．化簡的結果是（ ）
a． b． c． d．
5．的值為（ ）
a． b． c． d．
6.若，則的值是（ ）.
a． b． c． d．
7.化簡
8.計算
（5）1、下列計算正確的是：( ).
a． b． c． d．
2、下列運算正確的是（ ）．
a． b．
c． d．
3、下面計算正確的是（ ）
a． b． c． d．
4、設a＞0，b＞0，則下列運算錯誤的是（ ）
a．＝· b．＝＋ c．()2＝a d．＝
5、下列各數：中，無理數的個數是（ ）
a 2個 b 3個 c 4個 d 5個
6、下列各數中，與的積為有理數的是（ ）
7、已知：是整數，則滿足條件的最小正整數為（ ）
（a）2b）3 （c）4d）5
8．已知是正整數，則實數n的最大值為（ ）
a．12 b．11 c．8d．3
6.二次根式的混合運算
1．計算下列各題：
（1）；（2）
（3）（4）
（5）（6）
2．已知，求的值 ．
3．若與互為相反數，求代數式的值.
4．已知：，求的值．
5.已知實數，，滿足，求
6．先化簡在求值：
（1）已知，求的值。
（2），其中
7、二次根式的大小比較
1.比較下列各組中兩個數的大小．
⑴與與2.比較大小：與
3.比較大小：與
4.設,比較a、b、c的大小關係
5.（1）比較大小：與，與，與
（2）由（1）中比較的結果猜想：與（為整數）的大小關係。
（3）對（2）中的猜想證明
8、與二次根式有關的規律**
1.觀察下列分母有理化的計算：
從計算結果中找出規律，並利用這一規律計算
二次根式知識點總結及其應用
二次根式知識應用 1 非負性的運用 例 1.已知 求x y的值.2 根據二次根式有意義的條件確定未知數的值例1 使有意義的的取值範圍 例2.若，則 3 運用數形結合，進行二次根式化簡 例 已知x,y都是實數,且滿足,化簡.4 二次根式的大小比較 例 設,比較a b c的大小關係 5 與二次根式有關的...
二次根式知識點總結及其應用
1.二次根式的有關概念 1 形如的式子叫做二次根式.其中a叫作被開方數，它可以是單個字母，也可以是一些式子 二次根式有意義的條件 被開方數大於或等於零 例 當a是怎樣的實數時，下列各式在實數範圍內有意義？12 2 滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 被開方數不含分母 被開方數中不含能開得盡...
二次根式知識點總結及其應用
二次根式知識總結 一 基本知識點 1.二次根式的有關概念 1 形如的式子叫做二次根式.即乙個的算術平方根叫做二次根式 二次根式有意義的條件 被開方數大於或等於零 2 滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 被開方數不含分母 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式 3 幾個二次根式化成最簡二次根式...