北京四中
撰稿：劉楊審稿：嚴春梅責編：張楊
平面向量的基本定理及座標表示
一、目標認知
學習目標：
1．了解平面向量的基本定理及其意義；
2．掌握平面向量的正交分解及其座標表示；
3．會用座標表示平面向量的加法、減法與數乘運算；
4．理解用座標表示的平面向量共線的條件.
重點： 平面向量基本定理與平面向量的座標運算.
難點： 平面向量基本定理的理解與應用，向量的座標表示的理解及運算的準確性.
二、知識要點梳理
知識點一：平面向量基本定理
如果是同一平面內兩個不共線的向量，那麼對於這個平面內任一向量，有且只有一對實數，使，稱為的線性組合.
①其中叫做表示這一平面內所有向量的基底；
②平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，並且這種分解是唯一的.
這說明如果且，那麼.
③當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角座標系，因此平面向量基本定理實際
上是平面向量座標表示的基礎.
要點詮釋：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量座標的基礎，它保證了向量與座標是一一對應的，在應用時，構成兩個基底的向量是不共線向量.
知識點二：向量座標與點座標的關係
當向量起點在原點時，定義向量座標為終點座標，即若a(x，y)，則=(x，y).
要點詮釋：
當向量起點不在原點時，向量座標為終點座標減去起點座標，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).
知識點三：平面向量的座標運算
知識點四：平面向量平行(共線)的座標表示
設非零向量，則∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.
要點詮釋：
若，則∥不能表示成因為分母有可能為0.
三、規律方法指導
1．用向量證明幾何問題的一般思路：
先選擇一組基底，並運用平面向量基本定理將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來證明.
2．三點共線的判斷方法
判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然後再按兩向量共線進行判定，即已知
=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，
若則a，b，c三點共線.
經典例題透析
型別一：平面向量基本定理配圖增加試題詳解
1．p是△abc內一點，且滿足條件，設q為延長線與ab的交點，令，用表示.
思路點撥：這裡選取，兩不共線向量為基底，運用化歸思想，最終變成形式求解.
解析：又因為a，b，q三點共線，c，p，q三點共線
而，為不共線向量
故：總結昇華：
1．在平面向量基本定理的應用中，當基底確定後，向量的表示是唯一的，合理的選取基底會給解題帶
來方便；
2．解決該類問題，用基底表示向量是基本方法，還應注意三角形法則、中點座標公式的熟練應用.
舉一反三：
【變式1】△abc中，bd=dc，ae=2ec，求.
思路點撥：選取，作為基底，構造在此基底下的兩種不同的表達形式.再根據相同基底的係數對應相等得實數方程組求解.
解析：設
又…①又而比較①②，由平面向量基本定理得：
解得：或（舍） ，把代入得：
.型別二：平面向量的座標運算
2．已知點以及求點c，d的座標和的座標.
思路點撥：根據題意可設出點c、d的座標，然後利用已知的兩個關係式，列方程組，求出座標.
解析：設點c、d的座標分別為，
由題意得
因為，所以有和，解得和
所以點c、d的座標分別是(0，4)，(-2，0)，從而
總結昇華：向量的座標是向量的另一種表示形式，它只與起點、終點、相對位置有關，三者中給出任意兩個，可求第三個.在求解時，應將向量座標看做一「整體」，運用方程的思想求解.
向量的座標運算是向量中最常用也是最基本的運算，必須熟練掌握.
舉一反三：
【變式1】已知，且，求m、n及的座標.
解析：設，則同理可求，因此
型別三：平面向量的座標表示
3．平面內給定三個向量
(1)若求實數k；
(2)設滿足且求.
思路點撥：(1)由兩向量平行的條件得出關於k的方程，從而求出實數k的值；(2)由兩向量平行及得出關於x，y的兩個方程，解方程即可得出x，y的值，從而求出.
解析：(1)(2)又且總結昇華：
(1)與平行有關的問題，一般可以考慮運用向量平行的充要條件，用待定係數法求解；
(2)向量共線定理的座標表示提供了代數運算來解決向量共線的方法，也為點共線、線平行問題的處理
提供了簡單易行的方法.
平面向量基本定理試卷 一
平面向量基本定理練習卷 一 班級姓名 一選擇題 1 在中，若在上有一點滿足，則 a b c d 2 設p是所在平面內的一點，則 a b c d 3 下列向量中，能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是 abcd4 已知向量其中，若則 a 4 b 8 c 0 d 2 5 若，且，則銳角a b c d...
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本堂課屬於概念課，作為數學的概念課是非常難講的課題，一來你得讓學生在第一時間能清晰的對概念的內涵和外延有深刻的認識，爭取達成思維上的認同，避免理解的偏差和錯誤 二來更要讓學生能融入到它原有的知識結構體系中，把在知識碰撞中存在的疑惑在起始階段就幫助他們搞透徹。回首這堂課的設計，總體感覺還是不錯 一 對...
2 3 1平面向量基本定理教案
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