平面向量的基本定理及其座標表示
考綱要求
1.了解平面向量基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決簡單問題．
2.掌握平面向量的正交分解及座標表示．
3.會用座標表示平面向量的加法、減法與數乘運算．
4.理解用座標表示的平面向量共線的條件.
考情分析
1.平面向量基本定理的應用及座標表示下向量共線條件的應用是重點．
2.向量的座標運算可能單獨命題，更多的是與其他知識點交匯，其中以與三角和解析幾何知識結合為常見．
3.常以選擇題、填空題的形式出現，難度為中、低檔.
教學過程
基礎梳理
一、平面向量基本定理及座標表示
1．平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個向量，那麼對於這一平面內的任意向量a一對實數λ1，λ2，使a其中，不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組
2．平面向量的正交分解
把乙個向量分解為兩個的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的座標表示
(1)在平面直角座標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對於平面內的乙個向量a，有且只有一對實數x、y，使a＝xi＋yj，把有序數對叫做向量a的座標，記作a其中叫做a在x軸上的座標， 叫做a在y軸上的座標．
(2)設向量oa＝xi＋yj，則向量oa的座標(x，y)就是的座標，即向量oa＝(x，y)，則a點座標為反之亦成立．(o是座標原點)
二、平面向量座標運算
1．向量加法、減法、數乘向量及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b
a－ba
2．向量座標的求法
(1)若向量的起點是座標原點，則終點座標即為向量的座標．
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則向量ab
| ab
三、平面向量共線的座標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b
雙基自測
1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝，能作為表示它們所在平面內所有向量基底的是
ab．①③
cd．①②③
2．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)且b∥c，則x的值為 ( )
a．4b．－4
c．2d．－2
3．(教材習題改編)已知兩點a(4,1)，b(7，－3)，則與ab同向的單位向量是
ab.cd.
4．在平行四邊形abcd中，若ab＝(1,3)，ac＝(2,5)，則adbd
5．梯形abcd中，ab∥cd，ab＝2cd，m，n分別是cd，ab的中點，設ab＝a，ad＝b.若mn＝ma＋nb，則
典例分析
考點一平面向量基本定理
[例1] (2012·南京模擬)在平行四邊形abcd中，e和f分別是邊cd和
bc的中點．若ac＝λae＋μaf，其中λ，μ∈r，則
變式1．(2012·舟山模擬)如圖，平面內的兩條相交直線op1和op2將該平面分割成四個部分ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ(不包含邊界)．設op＝mop1＋nop2，且點p落在第ⅲ部分，則實數m，n滿足( )
a．m>0，n>0 b．m>0，n<0
c．m<0，n>0d．m<0，n<0
用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，並運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用平面幾何的一些性質定理.
考點二、平面向量的座標運算
[例2] (2012·紹興模擬)在平行四邊形abcd中，ac為一條對角線，ab＝(2,4)，ac＝(1,3)，則bd
a．(2,4b．(3,5)
c．(－3，－5d．(－2，－4)
變式2．(2012·淮安模擬)已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，oc＝a＋λb，o為座標原點，若點c在函式y＝sin的圖象上，則實數λ的值為________．
1．向量的座標運算實現了向量運算代數化，將數與形結合起來，從而使幾何問題可轉化為數量運算．
2．兩個向量相等當且僅當它們的座標對應相同．此時注意方程(組)思想的應用．
提醒：向量的座標與點的座標不同：向量平移後，其起點和終點的座標都變了，但向量的座標不變.
考點三、平面向量共線的座標表示
[例3] (2011·廣東高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．
若λ為實數，(a＋λb)∥c則
ab.c．1d．2
變式3．(2011·北京西城區期末)已知點a(－1,1)，點b(2，y)，向量
a＝(1,2)，若ab∥a，則實數y的值為
a．5b．6
c．7d．8
向量平行(共線)的充要條件的兩種表達形式是：a∥b(b≠0)a＝λb，或x1y2－x2y1＝0，至於使用哪種形式，應視題目的具體條件而定．利用兩個向量共線的條件列方程(組)，還可求未知數的值．
乙個區別
向量座標與點的座標的區別：
在平面直角座標系中，以原點為起點的向量＝a，點a的位置被向量a唯一確定，此時點a的座標與a的座標統一為(x，y)，但應注意其表示形式的區別，如點a(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
當平面向量平行移動到時，向量不變，即＝＝(x，y)，但的起點o1和終點a1的座標都發生了變化．
兩個防範
(1)要區分點的座標與向量座標的不同，儘管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量座標中既有方向也有大小的資訊．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等於0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.
本節檢測
1．設平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3b＝( )
a．(6,3b．(－2，－6)
c．(2,1d．(7,2)
2．(2012·黔西南州模擬)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實數x的值是( )
a．－2b．0
c．1d．2
3．(2012·寧德模擬)已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等於( )
a．－ a＋bb. a－b
c．－ a－bd．－ a＋b
4．(2012·嘉興模擬)已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈r，那麼a、b、c三點共線的充要條件為( )
a．λ＋μ＝2b．λ－μ＝1
c．λμ＝－1d．λμ＝1
5．在平行四邊形abcd中，ac與bd交於點o，e是線段od的中點，ae的延長線與cd交於點f.若＝a，＝b，則＝( )
a. a＋bb. a＋b
c. a＋bd. a＋b
6．(2011·湖南高考)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的座標為________．
7．設e1、e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a、b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.
自我反思
52學案平面向量的基本定理及座標表示學生版
授課學案 導學目標 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其座標表示.3.會用座標表示平面向量的加法 減法與數乘運算.4.理解用座標表示的平面向量共線的條件 自主梳理 1 平面向量基本定理 定理 如果e1，e2是同一平面內的兩個 的向量，那麼對於這一平面內的任一向量a一對實...
鹽山中學導學提綱 平面向量基本定理
平面向量的基本定理 編制人 魏猛剛審核人 李偉 班級姓名 學習目標 1.了解平面向量基本定理產生的過程和基底的含義，理解平面向量基本定理 2 理解兩個向量夾角的定義，以及兩向量的夾角與兩直線所成角的區別 3 掌握平面向量基本定理並能熟練應用 重點難點 重點難點 平面向量基本定理的應用 學習過程 一 ...
平面向量基本定理試卷 一
平面向量基本定理練習卷 一 班級姓名 一選擇題 1 在中，若在上有一點滿足，則 a b c d 2 設p是所在平面內的一點，則 a b c d 3 下列向量中，能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是 abcd4 已知向量其中，若則 a 4 b 8 c 0 d 2 5 若，且，則銳角a b c d...