推理與證明問題綜合了函式、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點，需要採用多種數學方法才能解決問題，是提高區分度，增強選拔功能的重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正在成為乙個熱點題型。
因此，我們必須學好它。如何學好？首要任務是熟練掌握本章的典型題目。下面將本章題型歸納如下：
題型一歸納推理發現一般性結論
歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。常見形式有：一是「具有共同特徵」，二是「迴圈型」（週期性），三是「遞推型」。
例1 觀察下列兩式： ；
．分析上面兩式的共同特點，寫出反映一般規律的等式，並證明你的結論。
解：一般規律的等式：若，。
證明如下：由，得，
即，所以
即。思維啟迪：具有共同特徵的幾個式子得出乙個通式，是歸納推理的常見題型。
例2 設定義在r上的函式滿足+，若，則
解：因為+，，所以，，，……，由此歸納出： ，所以 。
思維啟迪：本題條件+換為·，解題思路是一致的，屬於「迴圈型」（週期性）。
例3 （2012屆南通學科基地）如圖所示的數陣叫「萊布尼茲調和三角形」，他們是由整數的倒數組成的，第行有個數且兩端的數均為，每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，
如：…，則第行第3個數字是
解：，，
所以即第三個數：
思維啟迪：設第行的第2個數，第行的第2個數，通過對三角形規律的研究得出答案中的兩個式子即可求解，本題屬於「遞推型」。
題型二模擬推理拓展新知識
模擬推理又稱模擬法,它是根據兩個或兩類物件有部分屬性相同,從而推出它們的其它屬性也相同的推理。簡單地說,模擬推理是由特殊到特殊的推理。常見形式有：
等差數列性質模擬等比數列性質，橢圓性質模擬雙曲線性質，平面中的「點、線、圓、三角形、角、面積、周長」分別模擬空間中的「線、面、球、三稜錐、二面角、體積、表面積」等等。
例4 數列是正項等差數列，若，則數列也為等差數列。模擬上述結論，寫出正項等比數列，若則數列{}也為等比數列 。
解： 思維啟迪： =，等差數列和等比數列相模擬，則
== 例5 已知命題：平面直角座標系中，頂點和c，頂點b在橢圓上，橢圓的離心率是，則。試將該命題模擬到雙曲線中，可得到乙個命題
解：如圖,由正弦定理得, , ,
所以=由橢圓的定義模擬到雙曲線的定義可得：
平面直角座標系中，頂點
和c，頂點b在雙曲線上，雙曲線的離心率是，則| 。
思維啟迪：本題由橢圓的性質模擬雙曲線的性質。
例6 若abc內切圓半徑為r，三邊長為a、b、c，則abc的面積s＝r (a+b+c) 模擬到空間，若四面體內切球半徑為r，四個面的面積為s1、s2 、s3 、s4，則四面體的體積v
解：abc內切圓半徑為r和四面體內切球半徑為r相對應，三邊長與四個面的面積對應，不難模擬猜測本題的答案： r(s1＋s2＋s3＋s4)。
思維啟迪：本題模擬主要物件是三角形面積和三稜錐體積。
一般地，三角形面積計算都要有，而稜錐體積則都包含。因此最後的結果是r(s1＋s2＋s3＋s4) 。
題型三 「三段論」進行演繹推理
演繹推理是一種由一般性的命題推出特殊性命題的推理模式，是一種必然性的推理，演繹推理的前提和結論之間有蘊含關係，因而只要前提是正確的，推理形式是正確的，那麼結論必定是真實的，但是錯誤的前提可能導致錯誤的結論。
例7 如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，稜。
（1）證明//平面；
（2）設，證明平面。
解：（ⅰ）證明：取cd中點m，鏈結om。
在矩形abcd中，
，又，則，鏈結em，於是四邊形efom為平行四邊形。
又平面cde，且em平面cde，∵fo∥平面cde
（ⅱ）證明：鏈結fm，由（ⅰ）和已知條件，在等邊△cde中，
且。因此平行四邊形efom為菱形，從而eo⊥fm而fm∩cd=m，∴cd⊥平面eom，從而cd⊥eo。而，所以eo⊥平面cdf。
思維啟迪：演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數學發現活動中，它具有類似於「實驗」的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出「判決」和證明，從而為調控探索活動提供依據。
題型四直接推理證明
例8 設，…，是從，， 這三個數取值的數列，若…+ ，…+，則，…，中有個1
解：…+（+…）+2(…+)+50=102 。因為…+，所以
+…=40，所以50個數中有40個從中取，另外10個0，由
…+可得23個1，17個。故本題答案：23個1
思維啟迪：本題的表象是代數求解問題，實質是推理。尋找本題的解題思路，我們採用分析法，當我們將…+展開，得到+…=40，很容易想到只有，40個，另10個是0，讓我們有一種「柳暗花明」的感覺，這其實就是分析法的妙處。
寫解題過程時，我們通常採用綜合法，由已知條件出發，推出結論。
題型五運用反證法證明
利用反證法時，需要注意的一是否定結論部分，把握住結論的反是什麼？二是匯出矛盾部分，矛盾有時是與已知條件矛盾，有時是與假設矛盾，而有時又是與某定義、定量、公理或事實矛盾，因此要弄明白究竟是與什麼矛盾。
例9 若a,b,c均為實數，且，，證明：a,b,c中至少有乙個大於0
證明：假設a,b,c中全不小於0，即
這與矛盾。
所以假設不成立，原命題正確。
思維啟迪：對難於從正面入手的數學證明問題，解題時可從問題的反面入手，探求已知與未知的關係，從而將問題得以解決。因此當遇到「否定性」、「唯一性」、「無限性」、「至多」、「至少」等型別命題時，宜選用反證法。
題型六用數學歸納法證明
常見題型：用數學歸納法證明與自然數有關的等式，用數學歸納法證明整除性問題。
例10 用數學歸納法證明等式:
（）證明:(1)當時,左==右,等式成立。
(2)假設當)時,等式成立,即。
則。所以當時,等式也成立。綜合(1)、(2),等式對所有正整數都成立。
思維啟迪:用數學歸納法證明等式是一類常見題型,注意用數學歸納法證明的步驟,明確從到時式子變化了哪些,同時注意歸納假設時,如何湊出要證的結論,搞清項數與各項的結構。證明的關鍵是第二步時提取公因式、分解因式、添拆項、配方等技巧的合理使用,並用活。
例11 用數學歸納法證明:能被整除。
答案要點:(1)當時,能被整除,命題正確；
(2)假設時命題正確,即能被整除,
所以當時,
,而兩個連續的整數的乘積是偶數,所以能被整除,所以能被整除,即當時命題也正確,由(1)、(2)知命題時都正確。
思維啟迪:整除問題在考試中並不多見,一般用數學歸納法解決此類問題。用數學歸納法證明有關數或式的整除問題時,要充分利用整除的性質。
若干個數(或式)都能被某乙個數(或式)整除,那麼其和、差、積也能被這個數(或式)整除。即若能被整除,則的倍數也能被整除()；若、都能被整除,則也能被整除．
倘若以上題型能熟練掌握，我們就可以快速地增進知識、提高能力、開拓思維，加速更新自己的知識網路，必將信心百倍迎戰高考。
郵編 222111
位址：江蘇省連雲港市贛榆縣海頭鎮
學校：江蘇省海頭高階中學
姓名：匡立柱
郵箱：**：159
2 2 2推理與證明題庫
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